横截面应力的分析与计算的介绍

对于轴向拉（压）杆件，只知道横截面上的轴力并不能判断杆件是否有足够的强度。例如，用同一材料制成的粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力自然是相同的，但当拉力逐渐增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的面积有关。所以必须用横截面上的应力来比较和判断杆件强度。

在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力σ。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。若以A表示横截面面积，则微分面积dA上的内力元素σdA组成—个垂直于横截面的平行力系，其合力就是轴力FN。于是得静力关系

只靠上式的关系是不能确定应力σ的，只有知道σ在横截面上的分布规律后，才能完成上式的积分，所以求解应力的问题仅由静力平衡方程是无法确定的。

1.实验观察

为了求得σ的分布规律，必须从研究杆件的变形入手。拉伸变形前，在等直杆的侧面画上垂直于杆轴线的直线ab和cd，如图2-5所示。拉伸变形后，发现ab和cd仍为直线，且仍然垂直于杆轴线，只是分别平行地移至a′b′和c′d′。即加力后观察到所有的线段都发生的是平移。

图2-5　杆件拉伸变形

2.推理、假设

由横向线段的平移，可推论出整个横截面的平移。根据这一现象，提出如下假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面。这就是著名的平面假设。由这一假设可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长相等。

3.静力平衡

根据材料均匀、连续性的假设，各纵向纤维的性质相同，因而其受力也就一样。所以，杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等，σ等于常量。于是可得出

这就是拉杆横截面上正应力σ的计算公式。当FN为压力时，它同样可用于压应力的计算。和轴力FN的符号规则一样，规定拉应力为正，压应力为负。

4.关于式（2-1）的几点说明

（1）使用式（2-1）时，要求外力合力的作用线必须与杆件轴线重合。

（2）若轴力沿轴线变化，可先做出轴力图，再由式（2-1）分别求出不同截面上的应力。

（3）若杆件横截面的尺寸也沿轴线缓慢变化时（图2-6），式（2-1）可近似写成

图2-6　杆件横截面的尺寸沿轴线缓慢变化

式中，σ（x）、FN（x）和A（x）分别表示这些量都是横截面位置（坐标x）的函数。

（4）因平面假设仅在轴向拉、压的均质等直杆距外力作用点稍远处才成立，故式（2-1）只在距外力作用点稍远处才适用。

（5）在外力作用点附近区域内，应力分布比较复杂，式（2-1）不适用。式（2-1）只能计算该区域内横截面上的平均应力，不能描述作用点附近应力的真实情况。这就引出杆端截面上外力作用方式不同，对应力分布将有多大影响的问题。实际上，在外力作用区域内，外力分布方式有多种可能，例如在图2-7（a）、（b）、（c）中，杆右端外力的作用方式就不同。如果用与外力系静力等效的合力系来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处（例如，距离约等于截面尺寸处），上述代替的影响就非常微小，可以忽略不计。这就是著名的圣维南（SaintVenant）原理：若杆端两种荷载在静力学上是等效的，则离端部稍远处横截面上应力的差异甚微。根据这个原理，图2-7（a）、（b）、（c）中所示杆件，虽然两端外力的分布方式不同，但由于它们是静力等效的，则除靠近杆件两端的部分区域外，在离两端略远处（约等于横截面的高度），三种情况的应力分布是完全一样的。所以，无论在杆件两端按哪种方式加力，只要其合力与杆件轴线重合，就可以把它们简化成相同的计算简图，如图2-7所示，在距杆端截面略远处都可用式（2-1）计算应力。

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图2-7　三种情况的应力分布

【例2-2】　汽车离合器踏板如图2-8所示。踏板所受压力F1＝400N，拉杆的直径D＝9mm，杠杆臂长L＝330mm，l＝56mm，试求拉杆横截面上的应力。

解：（1）求拉杆上的外力F2及轴力FN

由∑MA＝0，F1L＝F2l

由截面法可知，拉杆的轴力FN＝F2

（2）求横截面上的正应力

横截面上的正应力为

图2-8　例2-2图

【例2-3】　图2-9（a）所示为一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d＝20mm的钢杆，荷载F＝15kN。当F移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。

图2-9　例2-3图

解：当荷载F移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设其值为FN，max。根据横梁图2-9（c）的平衡条件∑MC＝0，得

由△ABC求出

代入FN，max的表达式，得

斜杆AB的轴力为

由此求得AB杆横截面上的应力为