MDCT-MDST快速转换优化方法

对于N个2N维的MDCT的基向量ck和MDST的基向量sk，将其分解为N维的列向量表示，即

式中:k=0，1，…，N-1，上标“T”表示转置，上标“0”和“1”分别表示基向量的前半部分和后半部分的子向量。于是，得到四个N×N的矩阵

下面我们关注MDCT的基函数ck和MDST的基函数sk的两个基本性质。

性质1:C0的列向量和S1的列向量是奇对称的，C1的列向量和S0的列向量是偶对称的，且ck和sk是正交的。

式中:J是N×N的反对角单位阵，I是N×N的单位阵。

性质2:矩阵S0和C1，S1和C0两两间可通过符号阵相互转化。

式中:P是N×N的符号单位阵，其仅在对角线上有数值+1，-1，+1，-1，…。

性质3:sk和ck是两两正交，对延时N点的sk和ck之间有如下对应关系。

同理有

1.未加窗的情况

对于第i帧2N点的时域信号xi(n)，可通过第i-1帧MDCT谱线Xi-1(k)、第i帧MDCT谱线Xi(k)，以及第i+1帧MDCT谱线Xi+1(k)完美重建，即MDCT的重叠相加特性:

式中:和分别为时域信号xi(n)的前N点和后N点组成的N维列向量。

对于反对角单位阵J，有性质J T J=JJ=I，于是

故，矩阵S0、C1、S1和C0有性质:

此时，将式(4.83)和式(4.84)代入第i帧的MDST谱线Yi定义式，有

式中:Xi-=(Xi+1-Xi-1)/2，=(Xi+1+Xi-1)/2。观察上式，有

结论1:第i帧MDST谱线Yi能够由相邻的MDCT谱线Xi-1和Xi+1构成，而与当前帧MDCT谱线Xi无关。

2.加窗的情况

变换中为了保证帧间过度的平滑，采用先前的相关记号，加窗后的MDCT重叠相加特性表现为

式中:W0和W1是N×N对角矩阵，其对角线上的元素分别是窗函数w(n)和w(n+N)。考虑N×N的反对角单位阵J，右乘的作用是列向量反序排列，左乘的作用是行向量反向排列，加窗需要满足的重建条件可表示如下，

(www.xing528.com)

同理，易有W1=JW0 J。且对于对角矩阵W0和W1，有W0 W1=W1 W0。将以上关系式代入矩阵运算，对矩阵S0、S1、C0、C1、W0和W1间有如下性质:

证明:

故， W1 W0 C0=0。同理有， W0 W1 C1=0。证毕。

(2) W1 W1 C1= C1/2 W0 W0 C0= C0/2(4.90)

证明:

同理有， W0 W0 C0= C0。证毕。

此时，将式(4.89)和(4.90)代入加窗的第i帧MDST谱线Yi定义式，有

式中:=(-Xi+1-Xi-1)/2，=(-Xi+1+Xi-1)/2。观察上式，有

结论2:第i帧加窗的MDST谱线同样能够由相邻加窗的MDCT谱线Xi-1和Xi+1构成，且与当前帧MDCT谱线Xi无关。

3.MDCT-MDST转换矩阵

观察式(4.86)和(4.91)，不难发现不论是否加窗，MDST谱线的合成都与相同的两个矩阵相关。下面就考察这两个矩阵。

(1)差矩阵( S C0-S C1)是一个符号单位阵P的转置。

证明:记P为N×N维对角阵，其对角线上的元素为(-1)k-1

由式(4.76)有

故，

将式(4.72)中等式C T0 C0+C T1 C1=NI代入上式，有

证毕。

(2)和矩阵是一个稀疏对角阵T，其表达形式较为复杂。

式中:θ=π/(2N)，分子仅是一个正负1的变化。绘制绝对值曲面如图4-11所示。

图4-11　稀疏对角阵T的绝对值曲面

从图4-11我们可以发现，稀疏对角阵T除接近对角线元素外，大多数元素数值上都接近零值，即图4-11中所示为黑色。因此，通过以上的分析讨论，有

结论3:直接从MDCT谱线构建MDST谱线需要使用的两个矩阵。一个是运算量极小的符号单位阵，另一个是仅在对角线附近有数值的稀疏矩阵。