基尔霍夫定理：电路中电荷守恒与电位差定理的应用

直流电阻电路的结构形式很多，有些电路只要运用欧姆定律和电阻串、并联电路的特点及其计算公式，就能对它们进行分析和计算，称之为简单直流电路。然而有的电路，如含有一个或多个直流电源，则不能单纯地用欧姆定律或电阻串、并联的方法化简，如图1－64所示，称之为复杂直流电路。基尔霍夫定律是分析复杂直流电路最基本的定律之一，它分为基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。

图1－64　复杂直流电路图

1.电路结构中的几个名词

1）支路

电路中每个流过同个电流的分支称为支路。图1－64中adc、abc、aR3c分别组成了三支路。支路adc、abc中有电源，称为有源支路；支路aR3c中没有电源，称为无源支路。

2）节点

三条或三条以上支路的公共连接点称为节点，图1－64中a和c都是节点，而b和d则不是节点。

3）回路

电路中任一闭合的路径称为回路，如图1－64中R3cbaR3、abcda、aR3cda都是回路。只有一个回路的电路称为单回路。

4）网孔

内部不含有支路的回路称为网孔，图1－64中aR3cba和abcda两个回路中均不含支路是网孔；而回路aR3cda中含有支路abc，因而不是网孔。网孔一定是回路但回路不一定是网孔。

2.基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律简称KCL，又称节点电流定律，是反映电路中与同一节点相连的电路中电流之间关系的定律。其基本内容是：在任意瞬间，流进任一节点的电流之和恒等于流出这个节点的电流之和，即

在图1－65所示的电路中，对于节点A，应用基尔霍夫电流定律可写出I1＋I4＝I2＋I3＋I5，如果规定流入节点的电流为正值，流出节点的电流为负值，上式可改写为I1＋I4－I2－I3－I5＝0，写成一般形式为

即在任意瞬间通过电路中任一节点的电流代数和恒等于零，这是KCL的另一种表达形式。

在应用基尔霍夫电流定律时，需要说明以下几点。

（1）KCL具有普遍意义，它通常用于电路中的节点，也可以将节点推广到电路中的一个闭合的假定封闭面，那么流入封闭面的电流等于流出封闭面的电流，即IA＋IB＝IC，如图1－66所示，该假定封闭面又称为广义节点。

图1－65　基尔霍夫电流定律

图1－66　电路的广义节点

（2）应用KCL列写节点或闭合面电流方程时首先要设定每条支路电流的参考方向，然后依据参考方向是流入或流出列写出KCL方程，当某支路电流的参考方向与实际方向相同时电流为正值，否则为负值。

（3）节点电流定律对于电路中每个节点都适用。如果电路中有n个节点，即可得到n个方程。

【例1-21】　在图1－67所示的电路中，电流的参考方向如图1－67所示，已知I1＝4 A、I2＝7 A、I4＝10 A、I5＝25 A，求I3和I6。

图1－67　例2－15的电路图

解：对于节点a：I1＋I2＝I3，I3＝4＋7＝11（A）。

对于节点b：I3＋I4＝I5＋I6，I6＝I3＋I4－I5＝11＋10－25＝－4（A）。

电流I6为负值，表示I6的实际方向与假设方向相反，所以电流I6的大小为4 A，方向应是流入节点b。

3.基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律简称KVL，又称回路电压定律，它反映了回路中各电压间的相互关系。其基本内容是：在任意瞬间沿电路中任一回路绕行一周各段电压的代数和恒等于零，即

KVL规定了电路中任一回路内电压必须服从的约束关系，至于回路内是什么元件与定律无关。因此，无论是线性电路还是非线性电路，无论是直流电路还是交流电路都是适用的，在应用KVL列电压方程时，首先要选取回路绕行方向：可按顺时针方向，也可按逆时针方向；其次确定各段电压的参考方向。这里规定凡电压的参考方向和回路绕行方向一致时，该电压取正值反之则取负值。

如图1－68所示电路，选取绕向为顺时针方向，则利用KVL可表示为U1＋U2＋U3－U4－U5＝0，由于U1＝I1R1，U2＝I2R2，U3＝I3R3，U4＝E1，U5＝E2，分别代入上述公式，可得

图1－68　基尔霍夫电压定律

写成一般形式为

即在任一回路中，电动势的代数和恒等于各电阻上电压降的代数和，这是KVL的另一种表达形式。

关于KVL的应用，也应注意以下几点：

（1）应用KVL列回路电压方程时，会涉及两套符号的确定：一套是依据各部分电压相对绕行方向确定的；另一套是依据参考方向对实际方向确定的。

当起点电位高于终点电位时，所取电压为正值；而当起点电位低于终点电位时，所取电压为负值。电阻上两端点电位的高低由通过电阻的电流方向确定，电阻上的电流是由高电位流向低电位的，而电源上两端点的电位高低则可直接由电源的正负极确定，正极是高电位，负极是低电位。

（2）KVL不仅可以应用于任一闭合回路，而且可以应用于任一不闭合的电路如图1－69所示，其中a、b两处没有闭合。此时不妨把原电路看作一闭合回路，假设其间有一个电压Uab，此电压与该回路的其他电压仍满足基尔霍夫电压定律。沿abcd方向绕行，可得Uab＋I2R2＋I3R3－E1＋E2＋I1R1＝0，则Uab＝E1－E2－I1R1－I2R2－I3R3，由此得出基尔霍夫电压定律的推广定律：电路中某两点a和b之间的电压等于从a点到b点所经路径上全部电压的代数和。

【例1-22】　如图1－70所示，已知R1＝R2＝R3＝R4＝10 Ω，E1＝12 V，E2＝9 V，E3＝18 V，E4＝3 V，用基尔霍夫定律求回路中的电流及E、A两端的电压。

图1－69　基尔霍夫电压定律

图1－70　例1－22电路图

解：（1）电路为单回路，电路中各元件通过同一电流I（参考方向如图1－70所示）按顺时针绕行方向，列出KVL方程为－E1＋IR1＋IR2＋E2＋IR3＋E3＋IR4－E4＝0，即

因为I的计算结果为负值，所以回路中电流实际方向与参考方向相反，数值为0.3 A。

（2）可以通过两条路径计算UEA(www.xing528.com)

通过回路EFGHA：UEA＝IR3＋E3＋IR4－E4＝－0.3×10＋18－0.3×10－3＝9（V）。

通过回路EDCBA：UEA＝－E2－IR2－IR1＋E1＝－9＋0.3×10＋0.3×10＋12＝9（V）。

由以上计算看出，沿两条不同路径计算时，其结果是一样的，但在实际计算时，一般尽量选取较短的路径，以简化计算。

【例1-23】　如图1－71（a）所示的电路中共有三个回路，各段电压参考方向已给定，若已知U1＝1 V、U2＝2 V、U5＝5 V，求未知电压U3、U4的值。

解：分别选取各回路绕行方向如图1－71（a）所示，由KCL可得：

代入数据，求得：

如图1－71（b）所示某网络中的部分电路。a、b两结点之间没有闭合，按图1－71（b）中所选绕行方向，据KVL可得

图1－71　例1－23图

【例1-24】　单回路电路（串联电路）如图1－72所示，已知US1＝15 V，US2＝5 V，R1＝1 Ω，R2＝3 Ω，R3＝4 Ω，R4＝2 Ω，求回路电路I和电压Uab。

图1－72　例1－24图

解：选定回路电流I的参考方向及绕行方向如图1－72所示。根据KVL可写出：

即

求Uab，以a点到b点左边路径求解可得：

同理，以a点到b点右边路径求解可得：

由此可见，两点间电压与所选路径无关。

【例1-25】　电路如图1－73所示，已知电阻R1＝3 Ω，R2＝2 Ω，R3＝6 Ω，电压源US1＝15 V、US2＝3 V、US3＝6 V，求各支路电流及各元件上的功率。

图1－73　例1－25图

解：选定各支路电路I1、I2、I3的参考方向及回路绕行方向如图1－73所示。

根据KCL可得：

根据KVL可得：

将方程（1）、方程（2）、方程（3）联立，解得：

各元件功率：

由计算结果可以看出，电路发出的功率和消耗的功率相等，即满足功率平衡。

【例1-26】　图1－74所示为一电桥电路，Rg为检流计内阻。（1）列出点a、b的支路电流方程；（2）列出三个网孔的回路电压方程；（3）要使通过检流计G的电路为零，即电桥电路达到平衡，桥臂电阻R1、R2、R3、R4的关系应该如何？

图1－74　例1－26图

解：选定各支路电流的参考方向如图1－74所示。

（1）对节点a、b，根据KCL

（2）对于三个网孔，根据KVL

（3）检流计的电流为零，即Ig＝0，则有：

这是电桥平衡的条件。

【例1-27】　电路及参数如图1－75所示，o点为电路参考点，求a、b、c、d、e、f、g各点电位。

图1－75　例1－27图

解：根据KCL的推广应用，可以得出图1－75中电流I＝0，I′＝0，可见两个单回路的电流互补流通，选定左、右回路电流I1、I2的参考方向及绕行方向如图1－75所示，根据KVL，

左回路：（10＋10）I1＋20＝0，I1＝－1 A

右回路：（5＋1＋4）I2－5＝0，I2＝－0.5 A

各点电位分别为

【例1-28】　求图1－76所示电路的电流I。

图1－76　例1－28图

解：选定支路电流I1的参考方向如图1－76所示。利用KVL和KCL列写方程。

对于节点a，根据KCL可得

对于回路abbca，由KVL得：

将以上两方程联立求解，得