如何计算梅森增益？

对一个复杂的系统信号流图进行简化可以求出系统的传递函数， 而且， 结构图的等效变换亦适用于信号流图的简化， 但这个过程还是很麻烦的。 控制工程中常用梅森（Mason） 增益公式直接求取从输入节点到输出节点的传递函数， 而不需简化信号流图， 这为信号流图的应用提供了方便。

对于具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图， 求取任意输入节点到任意输出节点之间的传递函数的梅森增益公式为

式中， G 为从输入节点到输出节点的传递函数（或增益）； n 为从输入节点到输出节点的前向通路总数；Δ ＝1－∑L1 ＋∑L2－∑L3 ＋… ＋（－1）m∑Lm， 为流图特征式， L1 为信号流图中所有单独回路增益之和， L2 为所有互不接触的单独回路中， 每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和， Lm 为所有互不接触的单独回路中， 每次取其中m 个回路的回路增益的乘积之和， Δk 为第k 条前向通路的余因子式， 它等于流图特征式中除去第k 条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项） 以后的余项式。

【例2－13】　试用梅森增益公式求图2－30 所示的信号流图的传递函数。

解： 如图2－30 所示， 从输入节点x1 到输出节点x6 间有四条前向通路， 即n ＝4， 其增益分别为p1 ＝abcd， p2 ＝hcd， p3 ＝abg， p4 ＝hg； 有三条单独回路， 即L1 ＝bcf， L2 ＝ci，L3 ＝de； 没有不接触回路， 且前向通路与所有回路均接触， 因此余因子式Δ1 ＝Δ2 ＝Δ3 ＝Δ4 ＝1， 而Δ ＝1－（L1 ＋L2 ＋L3）， 因此， 由梅森增益公式求得的系统传递函数为

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【例2－14】　试用梅森增益公式求图2－33 所示系统的传递函数。

图2－33　例2－14 系统结构图

解： 为了便于观察， 将与图2－33 所示的系统结构图对应的信号流图绘制于图2－34中。 由图可见， 从输入节点R（s） 到输出节点C（s） 有两条前向通路， 即n ＝2， 其增益分别为p1 ＝G1G2G3， p2 ＝FG2G3； 有三个单独回路， 即L1 ＝G1H1， L2 ＝－G3H2， L3 ＝G1G2G3H3；回路L1 和回路L2 为不接触回路， 两条前向通路与所有回路均有接触， 因此余因子式Δ1 ＝Δ2 ＝1， 而Δ ＝1－（L1 ＋L2 ＋L3） ＋L1L2。 根据梅森增益公式可以求得系统的传递函数为

图2－34　例2－14 对应的信号流图