0°根轨迹绘制法则及其应用于飞机俯仰控制系统的特性分析

对于以下闭环系统特征方程

式中， A 为可变参数； P（s） 与Q（s） 为与可变参数无关的首一多项式， 在前面讨论了当A由零变化至正无穷时的根轨迹绘制法则。 但在许多情况下， 我们需要绘制A 取负值时的闭环系统根轨迹。 这样的情况主要来自两方面： 第一， 所研究的控制系统为非最小相位系统， 即在右半复平面具有开环零、 极点的系统； 第二， 所研究的控制系统包含正反馈回路。 前者主要是由被控对象（如飞机、 导弹） 本身的运动特性造成的， 或是在系统结构图变换过程中产生的； 后者是某种性能指标要求在复杂的控制系统设计中必须包含正反馈回路。 当A 取正值时， 绘制出的根轨迹称为180°根轨迹。 相应地， 当A 取负值时， 绘制出的根轨迹称为0°根轨迹。

以某个在右半复平面内存在一个开环零点的非最小相位系统为例， 假设其开环增益K由零变化到正无穷， 反馈类型为负反馈。 若将右半复平面内的零点zi 分离出来， 则闭环系统特征方程可写为

式中， P1（s） 和Q1（s） 仍然是与可变参数无关的首一多项式； 与K 同号， 仅相差一个比例系数。 将式（5.72） 写为形如式（5.71） 的标准形式， 有

比较式（5.71） 与式（5.73）， 根轨迹增益K∗即为A， 且K∗＝－K1， 故有A ＜0。

对于在右半复平面无开环零、 极点的正反馈系统， 假设其开环增益由零变化至正无穷，即根轨迹增益由零变化至正无穷， 闭环系统特征方程为

式中， K∗与开环增益K 同号， 故A ＝－K∗＜0。

上述两种系统的开环增益均从零变化至正无穷。 对于非最小相位系统， 根轨迹增益与开环增益反号， 且有A ＝K∗； 对于正反馈系统， 虽然根轨迹增益与开环增益同号， 但A ＝－K∗。 故可将两种系统归纳为： 将闭环系统特征方程整理成形如式（5.71） 的标准形式后， 有A ＜0。

将前面介绍的180°根轨迹的绘制法则稍作调整， 即可用于绘制0°根轨迹。 观察式（5.71） 不难发现， 此前推导的幅值条件仍然适用， 只需将式（5.10） 中的K∗替换为｜A ｜；由于A 为负实数， 因此在使用辐角条件时应将式（5.12） 右侧的（2k ＋1） ·180°改为2k·180°。 也就是说， 0°根轨迹的幅值条件和辐角条件分别为

和

式中符号含义与5.1.2 节中完全一致， 0°根轨迹的名称正是来自式（5.75） 所给出的辐角条件。

根据幅值条件式（5.74） 和辐角条件式（5.75）， 给出0°根轨迹的绘制法则， 见表5－2，这里不作推导。

表5－2　绘制0°根轨迹的基本法则

【例5－12】　波音747 客－货运输机高度控制系统（负反馈） 的开环传递函数为

试绘制出K 由零至正无穷变化时的根轨迹。

解： 该控制系统为非最小相位系统， 应当使用0°根轨迹绘制法则。 闭环系统的特征方程为

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式中， 根轨迹增益K∗＝－K， K∗变化范围为零到负无穷。

（1） 确定开环传递函数的零、 极点。 开环传递函数的零、 极点为z1 ＝6， p1 ＝0，p2 ＝－2 ＋j3， p3 ＝－2－j3。

（2） 确定根轨迹的分支数和渐近线。 开环传递函数m ＝1， n ＝3， 故共有3 条根轨迹分支和2 条渐近线。 渐近线与正实轴的夹角为

分离点还应满足

式（5.76） 与式（5.77） 联立， 解得

显然， 只有s1 ＝9.84 才是真正的分离点。

（5） 计算复数极点处的起始角。 对于p2 ＝－2 ＋j3， 有

故p2 处的起始角为

p3 处的起始角为θp3 ＝360°－θp2 ＝54.25°。

（6） 计算根轨迹与虚轴的交点。

将s ＝jω 代入特征方程式（5.76） 中， 整理得

令上式中的实部和虚部分别为零， 解得ω ＝±2.79， K∗＝－5.20。

根据以上步骤， 可以绘制出图5－26 所示的根轨迹。

图5－26　例5－12 的根轨迹

飞机在俯仰通道上的动力学特性使得该控制系统中存在非最小相位环节。 为提高飞机的飞行高度， 升降舵发生偏转， 附加俯仰力矩引起飞机绕机体轴转动， 从而产生附加升力。 然而， 在飞机真正实现爬升之前， 升降舵偏转所产生的直接作用力的效果是使飞机高度降低。对于正常式气动布局的导弹而言， 也会出现同样的现象。

下面给出例5－12 的MATLAB 程序：