判别一个系统是否稳定有多种方法， 如劳斯判据和奈奎斯特稳定性判据等。 理论上， 只要一个线性系统的结构和参数已知， 就可以判断它是否稳定。 但是， 在实际应用中， 系统的结构和参数都具有一定的不确定性。 例如， 对某些系统而言， 对于小的增益， 系统是稳定的， 如果系统增大或者超过某个值， 就是不稳定的。
【例6－9】 已知单位负反馈系统的开环传递函数为判断当开环增益K 分别为1， 5， 8， 10 时系统的稳定性。
解： 已知单位负反馈系统的开环传递函数， 可以直接利用劳斯判据判断闭环系统的稳定性。 系统的特征方程为
写出劳斯表：
若闭环系统稳定， 则劳斯表左端第一列的各数应大于零， 即得
解得－1 ＜K ＜8。 由此可知， K ＝1， 5 时， 闭环系统是稳定的。
除了用劳斯判据外， 还可以根据开环幅相频率特性曲线判断闭环系统的稳定性。 本例中幅相频率特性曲线及其局部放大情况如图6－42 所示。
图6－42 例6－9 的幅相频率特性曲线及其局部放大情况
不同开环增益情况下系统的单位脉冲响应曲线如图6－43 所示。
图6－43 不同开环增益下系统的单位脉冲响应曲线
从图6－42 和图6－43 可以看出：
（1） 当K ＝1 时， 幅相频率特性曲线与负实轴的交点为（－0.125， j0）， 距离临界点（－1， j0） 较近， N ＝0， Z ＝P－2N ＝0， 闭环系统仍然是稳定的。 动态过程稳定、 稳态误差大、 超调量小。(www.xing528.com)
（2） 当K ＝5 时， 幅相频率特性曲线与负实轴的交点为（－0.625， j0）， 距离临界点（－1， j0） 较远， N ＝0， 由于开环传递函数在复平面右侧的极点数P ＝0， 得到Z ＝P－2N ＝0，闭环系统是稳定的。 动态过程存在较大的瞬态阻尼振荡、 超调量和较小的稳态误差。
（3） 当K ＝8 时， 幅相频率特性曲线与负实轴的交点为（－1， j0）， 系统处于临界稳定状态。 阶跃响应是等幅振荡的。
（4） 当K ＝10 时， 幅相频率特性曲线包含临界点（－1， j0）， N ＝－1， Z ＝P－2N ＝2，闭环系统是不稳定的。 阶跃响应的振幅越来越大， 变成无界。
由上述例子可以看出， 系统参数的不确定性很有可能导致系统由稳定状态变为不稳定状态。 在分析或设计一个实际控制系统时， 一个受到轻微扰动就不稳定的系统是无法满足实际要求的。 因此， 我们不仅要知道系统是否稳定， 还需要知道系统的稳定程度， 前者被称为系统的绝对稳定性问题， 后者被称为系统的相对稳定性问题。 在频域分析法校正中， 采用“稳定裕度” 的概念表征系统的稳定程度。
用来衡量系统稳定裕度的两个普遍指标是幅值裕度和相位裕度。 假设开环系统的幅相频率特性曲线如图6－44 所示。 过GH 平面原点的单位圆与G（jω）H（jω）曲线相交于点B， 与B 点对应的频率ωc称为截止频率， 即幅值为1 或0 dB 时的频率， 也称为剪切频率。
1. 幅值裕度
G（jω）H（jω）曲线与负实轴的交点对应的频率为ω1。 在ω ＝ω1 处， 为使系统处于临界稳定状态， 系统开环增益需要放大的倍数被定义为幅值裕度， 用Kg 表示， 即
图6－44 幅相频率特性曲线
幅值裕度Kg 表示开环频率特性的极坐标图离（－1， j0） 点的远近程度。
2. 相位裕度
在截止频率处， 使系统达到临界稳定状态时所需要附加相角的滞后量被定义为相位裕度， 用γ 表示， 即
由上述定义可知： 对于最小相位系统， 若系统是稳定的， 则Kg ＞1， γ ＞0°， 且Kg 和γ 越大， 系统稳定程度越好； 若系统是临界稳定的， 则Kg ＝1， γ ＞0°； 若系统是不稳定的， 则Kg ＜1， γ ＜0°。
对于例6－9 的系统， K 分别等于1， 5， 8， 10 时系统的稳定裕度如图6－45 所示。 从图中可以看出， 当K ＝1 时， Kg1 ＝1／0.125 ＝8， γ1 ＝180°， 说明其相对稳定性好， 开环增益发生变化时对稳定性的影响不大； 当K ＝5 时， Kg2 ＝1／0.625 ＝1.6， γ2 ＝16.7°， 幅值裕度和相位裕度都比较小， 因此系统的稳定程度较差， 从图中也可以看出， 曲线与负实轴的交点距离临界点很近， 若开环增益继续增大， 曲线就会包围（－1， j0） 点， 系统就会不稳定；当K ＝8 时， Kg3 ＝1， γ2 ＝0°， 系统处于临界稳定状态， 虽然在这种状态下对单位脉冲响应不会发散， 但是只要开环增益增大一点， 系统就会处于不稳定状态； 当K ＝10 时， Kg4 ＝1／1.25 ＝0.8， γ2 ＝7.3°， 系统不稳定。
图6－45 例6－9 中系统的稳定裕度
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