如何消除系统误差？

一、测量误差概述

通过水准测量、角度测量和距离测量等的实际操作，可以发现测量总会产生误差。例如：进行闭合水准路线测量时，其高差总和往往不等于零；进行角度观测时，两个半测回的角值往往不完全相等；这都说明观测结果有误差存在。找到产生误差的基本原因，分析误差的性质，确定判断观测成果质量的标准和求得可靠结果的方法，就是本节研究误差的目的。

（一）测量误差的来源

由于任何测量都是由人操作仪器、工具在一定的外界条件下进行的，因此，测量误差的产生可以归结为下述三方面的原因：

（1）人们的感官（视觉）的局限性。

（2）仪器、工具不尽完善。

（3）外界因素（如亮度、温度、湿度、风力等）的影响。

（二）测量误差的分类

根据测量误差的性质，可分为两大类：

（1）系统误差。在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号都是固定的，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差的产生可能有各种原因。但主要是由于仪器工具不完善和外界因素影响所致。例如：尺长误差Δl的存在，使每量一尺段距离就产生一个Δl的误差；水准仪的i角影响，使每次读数都产生一个与视线长度成比例的误差；外界温度变化引起钢尺长度变化，因而引起量距误差；这些都是系统误差。此外，某些人估读总是偏大或偏小，也引起系统误差。

系统误差具有累积性质，而且一般总是可以预期出现，并可按其出现的规律采取相应的措施以减弱或消除它的影响。例如：测角中采取正倒镜观测以消除经纬仪的视准轴误差、横轴误差和水平度盘偏心差；水准测量中采取前、后视距离相等以便消除i角和球气差的影响；在量距中加上尺长改正、温度改正和在红外测距中加入各项改正数等。

（2）偶然误差。在相同条件下，对某一量进行一系列观测，如果所出现的误差，其大小和符号都不固定，即单个误差的出现没有明显的规律，而表现出偶然性，这种误差称为偶然误差。

偶然误差不能确知其产生的具体原因，因此事先既不能防范，事后也不能改正。例如：估读最小读数的误差，可能大一点。也可能小一点；大气折光变化对视线的影响，可能使之偏高亦可能使之偏低，无法预期它的大小和符号，也就不能用观测方法予以消除。

由于系统误差可以改正，所以测量结果中的系统误差绝大部分可以消除，剩下的主要是偶然误差。以后各项讨论，都假定测量结果中只含有偶然误差。

此外，在测量作业中也会产生错误，如读错和记错数据等、错误可以通过重复观测发现并予以消除。显然，产生错误的机会与作业员的技术熟练程度和工作作风有着密切关系，技术生疏或者工作不认真，无疑将容易产生错误。错误问题不属本章讨论问题。

二、偶然误差的特性和算术平均值原理

（一）偶然误差的特性

单个或少数几个偶然误差看不出任何规律性。但是，人们通过对同一量的大量重复观测发现：偶然误差的出现也有一定的规律，而且重复观测的次数越多，其规律也表现得越明显。

下面是一个观测实例。在相同条件下，观测了284个三角形的全部内角。由平面几何可知：每个三角形的内角和应为180°，这就是三角形内角和的真值，今用X表示。由于观测中存在偶然误差，使每个三角形内角和的观测值li（i为三角形编号）不等于真值X，其差就是三角形内角和的真误差，用Δi表示，即

根据式（7-1）计算出每个三角形内角和的真误差后，按其绝对值的大小，以3″为区间列于表7-1中。

表7-1　三角形偶然误差出现个数统计表

从表7-1可以看出：绝对值小的误差要比绝对值大的误差个数多；绝对值相等的正误差与负误差的个数基本相等；最大误差是24″。

通过大量类似实验都得出上述类似结论，这就反映了偶然误差出现的基本规律。于是人们根据数理统计方法，揭示了偶然误差的下述特性：

（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。

（2）绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的机会多。

（3）绝对值相等符号相反的偶然误差出现的机会相等。

（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的平均值趋近于零，即

图7-1　偶然误差大小与其出现个数的关系

为了简单而形象地表示偶然误差的上述特性，今以偶然误差的大小为横坐标，以其相应的出现个数为纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的关系曲线，如图7-1所示，这种曲线又称为误差分布曲线。误差分布曲线的峰愈高坡愈陡，表明绝对值小的误差出现较多，即误差分布比较密集，反映观测成果质量较好；曲线的峰愈低而坡愈缓，表明绝对值大的误差出现也不少，即误差分布比较离散，反映观测成果质量较差。如图7-1中相应于曲线a的成果质量就比相应于曲线b的成果质量高。

（二）算术平均值原理

根据偶然误差的4个特性可以说明：为什么在相同条件下，对某一量进行了多次观测时，以取平均值最为可靠（或最接近真值）。

事实上，设对某量进行了n次观测，各次观测结果分别为l1、l2、…、ln，它们都不等于真值X，其真误差分别为Δ1、Δ2、…、Δn，即

等式两边相加并各除以n得

式中[ ]表示代数和，这里称为高斯符号。

根据偶然误差的第4个特性有

由此得

这就说明当观测次数无限增加时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。但实际上观测次数数总是有限的，所以算术平均值与真值之间仍然存在一个差值[Δ]/n，称为算术平均值的真误差。由于[Δ]/n很小，可以忽略，因而认为算术平均值是最可靠的结果，称为最或然值。

三、衡量精度的标准

精度亦即精密度，是指对同一量的多次观测中，各个观测值之间的差异程度（或称离散程度）。若各观测值之间差异很大，则精度低；差异很小则精度高。评价一组观测值的精度需要有一个统一的标准，以此去衡量观测结果是否符合要求。

下面介绍衡量精度的常用标准。

（一）中误差

假设在一定条件下对某量进行了多次观测，各个观测值互不相等，即每次观测都存在着不同的真误差；显然，各真误差之间的差异大小等于相应的各观测值之间的差异大小，亦即各真误差之间的差异程度直接反映了观测结果的精度。例如有两个测量组，对某个已知真值的角度都在同一条件下进行了5次观测，各次观测的真误差分别为：

甲组 -4″、-3″、0″、+2″、+4″

乙组 -6″、-1″、0″、+1″、+5″

直观地比较两组的真误差可知：甲组各观测值真误差之间差异较小，最大误差与最小误差之间只差8″；乙组各观测值真误差之间差异较大，最大误差与最小误差之间相差11″。因此，甲组的观测精度比乙组高。但情况并不都这样简单明了，而且列出所有数据进行比较也不方便，所以必须采用一个更为科学的标准来衡量观测精度，于是引出中误差的概念：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测值真误差Δi平方的平均值再开平方的结果，称为观测值中误差，以m表示，即

观测值中误差m不是各个观测值的真实误差，它只与各个真误差的大小有关。它的特点是突出了较大误差与较小误差之间的差异程度，使较大误差对观测结果的影响明显地表现出来，因而它是衡量观测精度的可靠标准。

根据式（7-4）算得上述两组观测值的中误差分别为：m甲=±3″.0，m乙=±3″.5：因为m甲＜m乙，所以甲组的观测精度比乙组高。

（二）允许误差

在观测中，由于各种因素的影响，偶然误差的存在是不可避免的；但根据偶然误差的特性，它的绝对值不会超过一定的界限。误差理论和实验统计已经证明：绝对值大于2倍中误差的偶然误差出现的机会为4.5%；大于3倍中误差的偶然误差出现的机会仅0.3%。由此可以认为：在有限的观测次数中，大于3倍中误差的偶然误差基本上不会出现。因此，通常以3倍中误差作为偶然误差的极限值，称为允许误差或限差，以Δ允表示，即

在某些要求精度比较高的测量中，也常采用2m作为限差。

在测量规范中，对每项测量工作，根据所用仪器和测量方法，分别规定了相应的允许误差，如果观测值的误差超过了允许误差，成果质量就不合要求，必须进行重测。

（三）相对误差

真误差和中误差都是没有考虑观测量本身大小时的误差。一般称为绝对误差。在测量工作中，有时不能用绝对误差的大小来说明测量精度的高低。例如，分别丈量了1000m和200m的两段距离，其中误差均为±0.2m，不能说两段距离的丈量精度相同。因为量距误差的大小与距离长短有关。所以必须采用另一种标准来衡量，这就是相对误差。相对误差即绝对误差与观测量的比值，用分子为1的形式表示。例如上例中，两者的相对误差分别为0.2/1000=1/5000；0.2/200=1/1000。说明前者比后者精度高。

四、误差传播定律

在测量中，凡是根据直接观测读数所得到的结果，称为直接观测值，如用钢尺量得的距离，用水准仪读得的标尺读数等；凡是需要根据直接观测值通过计算求得结果的，称为间接观测值，如根据水准仪前、后视读数计算的高差，根据距离和方位角计算的坐标等。

间接观测值是直接观测值的函数。既然各个独立的直接观测值存在误差。那么通过函数式计算的间接观测值也会含有误差，这种关系称为误差传播。本节主要研究函数的中误差与观测值中误差之间的传播关系，最后说明各个独立因素对直接观测值的联合影响。

（一）观测值倍函数的中误差

设观测值的倍函数为

式中　K——已知常数；

　　　x——直接观测值，其中误差为mx。

求函数y的中误差my。

因为中误差是根据真误差按式（7-4）计算的，所以在求取函数中误差之前，必须确定它的真误差。

设Δx和Δy分别为x和y的真误差，则

将上式减去式（7-6），得函数y的真误差为

如果对x观测了n次，可以求得函数y的n个真误差

将以上各式等号两边平方，并求其总和，得

两边同除以n，得

根据中误差的定义式（7-4），得

这就是观测值倍函数的中误差公式。

【例7-1】 在视距测量时，上、下丝截得标尺间隔l为2.127m，其中误差为ml=±0.01m，求距离D及其中误差mD。

最后结果一般写成：D=212.7±1.0m

（二）观测值的和或差函数的中误差

设观测值x、y的和、差函数为

以Δx、Δy、Δz分别表示x、y及其函数z的真误差，则

将上式减去式（7-8），即得函数z的真误差为(www.xing528.com)

如果x和y都观测了n次，则可求得函数z的n个真误差

将以上各式等号两边平方，并求其总和，得

两边同除以n，得

根据中误差的定义式（7-4），得

而因Δx1、Δx2、…、Δxn及Δy1、Δy2、…、Δyn都是偶然误差，所以其相应乘积Δx1Δy1、Δx2Δy2、…、ΔxnΔyn也同样具有偶然误差性质，即

于是得±2[ΔxΔy]/n可认为等于零，因此得和差函数z的中误差为

如果mx=my=m，则

假设z为n个直接观测值的和差函数，即

各观测值的中误差分别为m1、m2、…、mn，根据上述推导方法，可导得函数z的中误差公式为

若m1=m2=…=mn=m，则

【例7-2】 已知某水准仪一次读数的中误差为±2.1mm，用它进行水准测量，试求：①1个站的高差中误差m站；②n个站的水准路线高差中误差；③高差允许误差。

解：（1）因每站高差为h=a-b，前、后视读数精度相同，即ma=mb=2.1mm；故根据式（7-10）可求得每站高差中误差为m站=±2.1≈±3mm。

（2）因n站高差之和为∑h=h1+h2+…+hn，而每站高差的精度相同，即mh1=mh2=…=mhn=m站；故根据式（7-13）可得n站水准路线的高差中误差为mh=（mm）。

（3）根据式（7-5），允许误差Δ允为中误差的3倍；如果将允许误差Δ允用容许闭合差的符号fh允表示，则fh允=±3mh=（mm）。

【例7-3】 用同一精度观测了n个三角形的内角，各三角形闭合差分别为f1、f2、…、fn，求测角中误差m。

解：因三角形闭合差f即为三内角之和σ的真误差，若用mσ表示其中误差，则根据中误差的定义但各三角形的三内角都是同精度观测，根据式（7-13）则mσ=±m由此可得

这就是著名的菲列罗公式。

（三）观测值线性函数的中误差

设有线性函数

式中　K1、K2、…、Kn——已知的常数；

　　　x1、x2、…、xn——观测值，其中误差分别为m1、m2、…、mn。

求函数Z的中误差。

为此，令y1=K1x1、y2=K2x2、…、yn=Knxn，将其代入式（7-15），得

参照式（7-11）和式（7-12）可得

但y1、y2、…、yn是倍函数，根据式（7-7），其中误差分别为my1=K1m1、my2=K2m2、…、myn=Knmn。以此式代入上式，即得线性函数的中误差公式为

（四）一般函数的中误差

前面讲的三种函数是些特殊函数，形式比较简单，求中误差的方法比较容易。但在测量中经常碰到的是一般函数，需要计算一般函数的中误差。

设有一般函数

取式（7-17）的全微分，得

式[7-18（a）]中，dz即为函数z的真误差，dx1、dx2、…、dxn即分别为x1、x2、…、xn的真误差；为函数对各自变量的偏导数，当xi是已知观测值时，它是确定的常数。因此，式[7-18（a）]相当于线性函数的真误差关系式。参照式（7-15）和式（7-16），可写出中误差公式为

【例7-4】 采用三角高程测量方法测定高差，设测得D=221.7±0.5m、Z=80°17′24″±12″、i=1.43±0.01m、v=2.30±0.01m，试求高差的中误差mh。

解：首先列出高差函数式。根据式（6-27）有

第二步，将该式取全微分

第三步，以相应的中误差平方代替微分，同时将各项系数取平方，等式右边各乘积项之间用“+”号连接，得

最后，将有关观测值及各项观测值中误差代入上式计算中误差

由公式算得高差h=+37.07m；即高差测定结果为h=+37.07±0.09m。

（五）各种独立误差的联合影响

在一定条件下进行观测，其观测结果的精度常受到各种偶然因素的影响，这些因素彼此独立，与观测值之间并不同时存在着固定的函数关系，各自对观测结果的影响也不相同，称为独立因素。各个独立因素产生的误差称为独立误差。例如观测一个方向时，观测结果就受到仪器对中误差、目标偏心差、照准误差以及读数误差等主要独立误差的影响。各个独立误差对观测结果的联合影响（即使观测值产生的误差）等于各个独立误差的代数和。即设备独立误差分别为Δ1、Δ2、…、Δn，则其联合影响Δu为

这相当于和函数的真误差关系式，根据前面所述方法，将它转换成中误差则为

【例7-5】 设对中中误差为±5″，照准中误差为±3″，目标偏心中误差为±15″，读数中误差为±6″，求这些误差对方向值的联合影响。

解：根据式（7-19），其联合影响产生的方向值中误差为

五、算术平均值及其观测值的中误差

（一）算水平均值的中误差

设对某量在相同条件下观测了n次，观测值分别为l1、l2、…、ln，其中误差m1=m2=…=mn=m；现在来推求算术平均值的中误差M。

取观测值的平均值，用表示，得

根据线性函数的中误差式（7-16），则的中误差为

式（7-20）表明：算术平均值的中误差M比观测值的中误差小倍。因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。但观测次数n增加到一定程度后，的递增幅度变小，算术平均值中误差缩小的幅度也变小，再靠增加观测次数来提高精度，效果就不明显。同时，增加过多观测次数所产生的一点效益又将损失在过多操作所产生的残留系统误差之中，结果毫无实际意义。为了提高成果的精度，除了增加一定的观测次数（一般2～4次）以外，主要还须靠改进仪器工具和测量方法，提高作业人员的业务技术水平，同时选择有利的外界条件进行观测。

（二）观测值的中误差

在中误差的定义式（7-4）中，Δi是观测值的真误差，即Δi=l-X（i=1、2、…、n）。但在一般情况下，真值X是不知道的，故Δi也不知道。因此，实际上不能用真误差Δi来计算中误差。然而算术平均值是知道的，它又最接近真值，于是选用观测值li与算术平均值之 差vi（称为最或然误差）来计算观测值的中误差。

将式[7-21（b）]减去式[7-21（a）]，得

将式[7-21（c）]中各式分别平方并取其和，得

由式[7-21（a）]可得

将式[7-21（d）]两边同除以n，并顾及式[7-21（e）]，得

式[7-21（f）]中，（-X）是算术平均值的真误差，也无法求得，通常近似地以算术平均值的中误差M来代替。于是，将式（7-4）和式（7-20）代入式[7-21（f）]中，得

由此解得

这就是利用最或然误差来计算观测值中误差的公式，又称白塞尔公式。

用式（7-21）代入式（7-20），则算术平均值的中误差为

例如，用某经纬仪对一个角观测了6个测回，观测值列于表7-2中，求观测值中误差m和算术平均值中误差M。

表7-2　观测值和算术平均值中误差计算