正弦量的相量表述方法

正弦量可以用三角函数式、波形图来表示，这两种方法可以表示正弦量的三要素.在正弦交流电路中，经常需要进行同频率正弦量的运算，若仅借助于三角函数或波形图则是十分不便的.为简化电路的分析和计算，电工技术中常采用相量法.

1.复数

在数学中1称为虚单位，并用i表示.由于在电工中i已代表电流，因此虚单位改用j表示，即j=1.实数与j的乘积称为虚数.由实数和虚数组合而成的数，称为复数.设A为一个复数，其实数和虚数分别为a和b，则复数A可用代数形式表示为A=a＋j b.每一个复常数在复平面上都有一个对应的点，连接这一点到复平面上的原点构成一个有向线段即复矢量和复数A相对应，如图2-5所示.矢量r在实轴和虚轴上的投影分别为复数A的实部和虚部.

矢量r的长度r为复数A的模，矢量r和正实轴的夹角φ称为复数A的幅角.它们之间的对应关系是：

图2-5　复矢量

这样可得复数A的三角式，即A=r（cosφ＋jsinφ）.

根据欧拉公式：

可得复数A的指数形式为

A=r ejφ

在电工中为了书写方便，常将指数形式的复数A=r ejφ简写为极坐标形式，即

A=r∠φ.

复数形式的相互变换和运算规则，是求解交流电路的基本运算.

（1）复数的加、减法运算.

复数的相加和相减，常采用复数的代数形式或三角形式进行运算.当两个或两个以上复数相加减时，其和仍为复数，和的实部等于各复数的实部相加减，和的虚部等于各复数的虚部相加减.例如：

A1=a1＋j b1，　A2=a2＋j b2

其和为

A=A1＋A2=（a1＋a2）＋j（b1＋b2）

其差为

A′=A1-A2=（a1-a2）＋j（b1-b2）

（2）复数的乘、除法运算.

复数的相乘和相除，常采用指数形式、极坐标形式运算比较简单.运算的规则是几个复数相乘等于各复数的模相乘，幅角相加；几个复数相除等于各复数的模相除，辐角相减.例如：

其积为

其商为

2.正弦量的相量表示法

在正弦交流电路中，由于各处的电压和电流都是与电源同频率的正弦量，而电源频率一般是已知的，因此，计算正弦交流电路中的电压和电流，可归结为计算其有效值和初相位.即在频率已知的情况下，正弦量由其有效值和初相位所确定.基于这一点，正弦量可以用一个复数来表示，复数的模代表正弦量的有效值，复数的幅角代表正弦量的初相位.用来表示正弦量的复数称为相量，相量用大写字母上面加黑点表示，用以表明该复数是时间的函数，与一般的复数不同.例如，和分别为正弦电流、电压和电动势的相量，正弦交流电流i=I sin（ωt＋φ0i）的相量为

这种用复数表示正弦量的方法叫做相量法.应用相量法可以把同频率的正弦量的运算转化为复数的运算.

3.相量图

和复数一样，正弦量的相量也可以在复平面上用一有方向的线段表示，并称之为相量图.如图2-6所示即为式（2-7）所表示的正弦电流的相量图.(www.xing528.com)

作相量图时实轴和虚轴通常可省略不画，且习惯上选取初相位为零的正弦量为参考正弦量.

图2-6　正弦电流的相量图

①相量只是正弦量的一种表示方法，二者并不相等.

②只有当电路中的各正弦量的频率相同时，才能用相量法进行运算，并可以画在同一个相量图上.

例2-5　已知u=141sin（ωt＋60°）V，i=70.7sin（ωt-60°）A.试写出它们的相量式，画相量图，并说明二者的相位关系.

相量图见图2-7.由相量图可知，二者的相位差即为两相量的夹角，即φ=120°，且电压超前.

4.相量形式的基尔霍夫定律

（1）基尔霍夫电流定律.

在正弦交流电路中，基尔霍夫电流定律的表达式仍为∑i=0，与其对应的相量式则为

图2-7　例2-5图

式（2-8）说明，在正弦交流电路中，流入或流出任一节点的各支路电流相量的代数和恒等于零.

解　两个正弦量所对应的相量分别为

两电流的相量之和为

（2）基尔霍夫电压定律.

在正弦交流电路中，KVL的表达式仍为∑u=0，与其对应的相量式则为

式（2-9）说明，在正弦交流电路中，任一回路内各段电压的相量的代数和恒等于零.

解　两个正弦电压所对应的相量分别为

两个正弦电压的相量和为

由此可得

上题中的相量相加还可以采用矢量的平行四边形法则作图进行分析，如图2-8所示.

图2-8　相量相加