平面切割立体及其截交线形状分析

当平面切割立体时，平面与立体表面所形成的交线称为截交线，切割立体的平面称为截平面。

1.截交线的性质

立体被平面截切时，立体表面形状的不同和截平面相对于立体的位置不同，所形成截交线的形状也不同，但任何截交线均具有以下两个性质：

(1)共有性：截交线是截平面与立体表面的共有线。

(2)封闭性：截交线是封闭的平面图形。

2.平面切割棱柱

例1　垂直于正面的截平面切六棱柱，完成截切后的三面投影如图2－18(a)、图2－18(b)所示。

分析：由图可知，截平面垂直于正面，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影除顶面上的截交线外，其余各段截交线都积聚在六边形上。

作图步骤：由截交线的正面投影可在水平面和侧面相应的棱线上求得截平面与棱线的交点，依水平投影的顺序连接侧面投影各交点，可得截交线的投影，如图2－18(c)所示。画左视图时，既要画出截交线的投影，又要画出六棱柱轮廓线的投影。

判别可见性：俯视图、左视图上截交线的投影均为可见，在左视图中后棱线的投影不可见，应画成虚线。

图2－18　截切六棱柱的三视图

3.平面切割棱锥

例2　如图2－19(a)、图2－19(b)所示，求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。

分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为直线。截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点，其余投影必在各棱线的同面投影上。

作图步骤：根据点的投影规律，在相应的棱线上求出截平面与棱线的交点，判断可见性后依次连接各点的同面投影，即得截交线，如图2－19(c)所示。

图2－19　截切棱锥体的三视图(www.xing528.com)

4.平面切割圆柱

平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。平面截切圆柱体截交线的形式有三种，如表2－4所示。

表2－4　平面截切圆柱体的截交线

例3　已知斜切圆柱体的主视图和俯视图，求左视图。如图2－20(a)、图2－20(b)所示。

分析：截平面垂直于正面且与圆柱轴线倾斜，斜切圆柱体的截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，侧面投影为椭圆。

作图步骤：

(1)求特殊点：截交线最左素线上的点I和最右素线上的点Ⅱ分别是截交线的最低点和最高点。截交线最前点Ⅲ和最后点Ⅳ分别是最前素线和最后素线与截平面的交点。作出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、3'、4'和水平投影1、2、3、4，根据从属关系求出1″、2″、3″、4″。如图3－20(c)所示。

图2－20斜切圆柱体的截交线

(2)求一般点：从正面投影上选取a'、b'、c'、d'四点，然后作OX轴的垂线求得a、b、c、d，根据点的投影规律求出侧面投影a″、b″、c″、d″，如图3－20(d)所示。

(3)按截交线的顺序，光滑地连接各点的侧面投影。侧面投影的轮廓线画到3″、4″为止，并与椭圆相切。如图2－20(e)所示。

例4　如图2－21(a)所示，画出开槽圆柱的三视图。

分析：圆柱体上部的槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面平行于圆柱轴线且平行于侧面，一个截平面垂直于圆柱轴线，圆柱面上的截交线(AB、CD、圆弧BF、圆弧DF……)都分别位于被切出的各个平面上。由于这些面均平行于投影面，其投影具有积聚性或显实性，因此截交线的投影应依附于这些面的投影，不需另行求出。

图2－21　开槽圆柱体的三视图

作图步骤：先画出完整圆柱的三视图，按槽宽、槽深尺寸依次画出正面和水平面投影，再依据点、直线、平面的投影规律求出侧面投影。如图2－21(b)所示。

判别可见性：截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。