CFD数值模拟理论分析简介

计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）是流体力学的一个分支，由于其研究经费少、周期短、重复性好等优点，已经在航天航空、旋转机械、天气预报、汽车等许多领域得到广泛应用。随着其他学科的发展和进步，及计算机技术水平的提高，CFD技术也逐渐得到了完善和发展。无论是在广度上还是在深度上，CFD在航空航天领域的应用都超过了其他领域，航空航天领域技术的发展有力地推动着CFD的发展。随着CFD软件的开发和推广，CFD现已成为人们分析研究各种流场时不可或缺的重要工具之一。

CFD的基本思想如下：采用一定的离散方法，对在时间域和空间域上连续的物理量场进行离散分解，取有限个离散点，用这系列离散点（包括变量值）的集合来代替原来的连续物理量，并根据一定的原则建立离散点上相关场变量之间的关系（即方程组），然后通过求解方程组获得相关场变量的近似值。

3.3.1.1　控制方程

流体运动必须遵循质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律等三大基本物理定律。根据这三大定律，对各类流体运动进行数学描述，则形成了相应的基本控制方程，包括质量守恒方程（即连续性方程）、动量守恒方程（即运动方程或N-S方程）和能量守恒方程。

1.连续性方程

单位时间内流入流体微元体的净质量等于该微元体质量的增加：

2.动量方程（N-S方程）

单位时间内流体中微元体的动量增加值应等于在该微元体上的各种外加作用力之和。其本质是牛顿第二定律，动量守恒方程在x、y和z三个方向分别表示为：

式（3.40）中各字母代表参数详见文献[21]。对于理想流体，有：

式（3.41）中，μ、λ分别是动黏度度和第黏度度，一般情况下取λ=-将式（3.41）代入（3.40）得：

式（3.42）中，grad （）=符号S u、S v和S w是动量守恒方程的广义源项，Su=F x+s x，S v=F y+s y，S w=F z+s z。其中，s x、s y和sz的表达式分别为：

式（3.43）中，对于黏性近似不变的不可压流体，s x=s y=s z=0。

3.能量守恒方程

能量守恒定律是各类系统热交换时必须满足的基本定律。单位时间内微元体中能量的增加值等于进入微元体的净热量和其他力对微元体所做的功之和。

上式中各字母代表参数详见文献[21]。

对实际物理模型建立数学方程后，在对其进行CFD求解之前，需要对原有连续物理量进行离散。有限差分法（Finite Difference Method，FDM）、有限元法（Finite Element Method，FEM）和有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是目前常用的三种离散方法。

3.3.1.2　定解条件

在数值求解过程中，完整的物理过程的数学描述包括控制方程和相对应的定解条件。由于实际流动问题的复杂性，定解条件的确定目前尚未形成一般性理论，是CFD的一大难题。求解定常流动问题时若采用时间推进法，则定解条件包括边界条件和初始条件[23- 24]。

3.3.1.3　湍流数值计算模型

湍流是一种带有旋转流动结构的流动状态，它是由一系列不同尺度不同旋转轴的大小涡叠合而成的流动。由于湍流本身的复杂性，对湍流进行数学描述存在一定的困难。直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，DNS）方法[23-26]，大涡模拟（Large Eddy Simulation，LES）方法[27-33]和雷诺时均NS方程（Reynolds Average Numerical Simulation，RANS）方法[3438]是目前处理湍流数值计算问题的三种常用方法。

3.3.1.4　离散计算方法

数值模拟过程中，经常采用的是SIMPLE算法。SIMPLE意为“求解压力耦合方程组的半隐式方法”，主要用于求解不可压流场[39]。它的核心是采用“猜测—修正”的过程，在交错网格的基础上来计算压力场，从而达到求解动量方程的目的。(www.xing528.com)

SIMPLE算法的思想如下：求解离散形式的动量方程，从给定的压力场得出相应的速度场。由于压力场是事先假定的，因此需对给定的压力场加以修正。修正的原则是：通过修正后的压力场计算出的对应的速度场，要能满足这一迭代层次上的连续方程。据此原则，不断地进行计算和迭代，修正压力场的同时检查速度场的收敛性。若不收敛，用修正后的压力值作为给定的压力场，开始重复计算，直到获得收敛的解。

在求解过程中，SIMPLE算法的两个关键问题分别是如何获得压力修正值及如何根据压力修正值确定“正确”的速度。

1.速度修正方程

对于二维层流稳态问题，设有初始的猜测压力场p*，则可根据动量方程的离散方程求出相应的速度分量u*和v*。

根据式（3.45）和（3.46），有：

这里定义压力修正项p′，有：

式（3.49）中p为正确的压力场。以同样的方法来定义速度修正项u′和v′，有：

式（3.50）（3.51）中u，v（　）为正确的速度场。将p代入动量离散方程（3.45）和（3.46），可得到正确的速度场u，v（　）。有：

把压力和速度的修正值的表达式代入，上式可写为：

通过简化，略去方程中的和，得到：

其中，

将（3.56）和（3.57）式所描述的速度修正值，代入（3.50）和（3.51）式，得到：

其中，

综上可知，只要知道压力修正项p′，就可以通过相应的修正而得到正确的速度场u，v（　　）。

2.压力修正方程

除了动量方程，速度场还受连续方程（3.61）的约束。

稳态问题的连续方程为：

根据标量控制体积，连续方程（3.61）满足如下离散形式：

将式（3.54）～（3.57）代入上式可得

CFX是第一个发展和使用全隐式多网格耦合求解技术的商业化软件，这种求解技术避免了传统算法需要“假设压力项—求解—修正压力项”的反复迭代过程，而同时求解动量方程和连续性方程，加上其多网格技术，CFX的计算速度和稳定性较传统方法提高了许多。