水锤的基本理论：刚性水锤和弹性水锤

水锤的基本理论主要分为刚性水锤理论和弹性水锤理论两种。刚性水锤理论没有考虑流体的压缩性和管材弹性及流动阻力，水锤计算只与流速变化有关，计算过程比较简单，但计算结果通常要大于实际值，不符合实际情况，目前已不使用此水锤理论进行水锤计算。弹性水锤理论在计算中既考虑了流体的可压缩性又考虑了管材的弹性，计算过程相对较复杂，但计算结果的准确性高，比较符合工程实际情况，现广泛应用于在实际工程水锤计算中。在使用弹性水锤理论进行计算时，水锤波波速是不可缺少的一个参数，主要取决于流体以及管材的弹性。下文以关阀水锤为例对弹性水锤波波速计算公式进行推导。

关阀水锤的形成过程如图5.1所示。当管道中的阀门突然关闭，与阀门紧贴的液体受阀门所阻，管道内流体流速迅速发生变化，产生的水锤波在d t内传播至d x处，阀门前位置处的微小流段d x内的流体立刻停止流动，流速突变为零的同时，流体的动能转化为压力势能，在压力作用下流体被压缩，后部仍在向前流动的流体继续向前压缩，使得管道压力继续升高并引起管道的膨胀。

图5.1　关阀水锤形成示意图

由于阀门突然关闭，阀门前位置处的微小流段d x中的流体在停止过程中会引起流体密度ρ和管壁截面A的改变，变化量分别为Δρ和ΔA。密度和管壁截面的变化引起d x管段内流体质量的变化，变化量ΔM为

令水锤波波速为a，则d x=a d t，此处可以忽略高阶无穷小量dρd A，则ΔM可写为

微段内质量变化量等于上游补充进的流体质量，则

经过转化变为

随着压力的增大，流体的密度ρ也发生了变化，流体压缩性用表示，管壁的弹性用表示。

由动量定理可得：

联立式（5.3）和式（5.4），计算得到水锤波波速a的计算公式为

当压力P增加d P时，管径D、管道截面积A也将随之发生改变，增加量分别为d D、d A，其中d A为

则

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根据胡克定律，管道直径的变化量d D与管壁应力的变化量dσ的关系可写为

式中：σ——管壁应力，N；

E——管壁材料的弹性模量，N/m2。

若薄壁管道的壁厚为e，则

将式（5.8）和式（5.9）代入式（5.7）可得

将流体的体积弹性模量和式（5.10）一起代入式（5.5）可得

式中：K——流体体积弹性模量，N/m2；

ρ——流体密度，kg/m3；

D——管道管径，mm；

E——管壁材料的弹性模量，N/m2；

e——管壁厚度，mm。

由于管道中的水锤波波速受管道的弹性的影响，在考虑管材的体积弹性模量与杨氏弹性模量后，水锤的波速计算公式为

式中：E v——管道材料的体积弹性模量，N/m2；

E——管道材料的杨氏弹性模量，N/m2

φ——与管道支撑性和泊松比（μ）相关的系数。