流体流动及换热的基本控制方程简介

流体流动要受到物理守恒定律的支配，即流动要满足质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程。本节将给出求解多维流体运动与换热的方程组。

1．物质导数

把流场中的物理量认作是空间和时间的函数：

T=T(x,y，z,t) P=P(x,y，z,t) V=V(x,y，z,t)

研究各物理量对时间的变化率，例如，速度分量u对时间t的变化率有：

式中，u、v、w分别为速度沿x、y、z方向的速度矢量。

将上式中的u用N替换，代表任意物理量，得到任意物理量N对时间t的变化率：

这就是任意物理量N的物质导数，也称为质点导数。

2．质量守恒方程（连续性方程）

任何流动问题都要满足质量守恒方程，即连续性方程。其定律表述为：在流场中任取一个封闭区域，此区域称为控制体，其表面称为控制面，单位时间内从控制面流进和流出控制体的流体质量之差，等于单位时间该控制体质量增量，其积分形式为：

式中，Vol表示控制体；A表示控制面。第一项表示控制体内部质量的增量，第二项表示通过控制面的净通量。

上式在直角坐标系中的微分形式如下：

连续性方程的适用范围没有限制，无论是可压缩或不可压缩流体，黏性或无黏性流体，定常或非定常流动都可适用。

对于定常流动，密度ρ不随时间的变化而变化，式（12-27）变为：(www.xing528.com)

对于定常不可压缩流动，密度ρ为常数，式（12-27）变为：

3．动量守恒方程（N-S方程）

动量守恒方程也是任何流动系统都必须满足的基本定律。其定律表述为：任何控制微元中流体动量对时间的变化率等于外界作用在微元上各种力之和，用数学式表示为：

由流体的黏性本构方程得到直角坐标系下的动量守恒方程，即N-S方程：

对于不可压缩常黏度的流体，则式（12-31）可化为：

在不考虑流体黏性的情况下，则由式（12-31）可得出欧拉方程如下：

N-S方程比较准确地描述了实际的流动，黏性流体的流动分析可归结为对此方程的求解。N-S方程有3个分式，加上不可压缩流体连续性方程式，共4个方程，有4个未知数u、v、w和p，方程组是封闭的，加上适当的边界条件和初始条件原则上可以求解。但由于N-S方程存在非线性项，求一般解析解非常困难，只有在边界条件比较简单的情况下，才能求得解析解。

4．能量方程与导热方程

描述固体内部温度分布的控制方程为导热方程，直角坐标系下三维非稳态导热微分方程的一般形式为：

式中，t、ρ、c、Φ和t分别为微元体的温度、密度、比热容、单位时间单位体积的内热源生成热和时间，λ为导热系数。

如果将导热系数看作常数，在无内热源且稳态的情况下，上式可简化为拉普拉斯（Laplace）方程：

用来求解对流换热的能量方程为：

式中，α=λ/ρc_p，称为热扩散率；u、v、w为流体速度的分量，对于固体介质u=v=w=0，这时能量方程（12-36）即为求解固体内部温度场的导热方程。