频域滤波：巴特沃斯和指数低通滤波器

时间：2026-01-23 理论教育眠眠版权反馈

【摘要】：图2-31 理想低通滤波器示意图巴特沃思低通滤波器截止频率距离原点的距离为D0，n级巴特沃思低通滤波器的传递函数的定义为其中，D0为截止频率，n为巴特沃思低通滤波器的级数（阶数）。例程2-25指数低通滤波器指数低通滤波器是用来帮助寻找空间域和频率域之间的重要联系的，其传递函数为其中，D0是截止频率。这时，传递函数变为例程2-27为巴特沃思高通滤波器的一个实例，其运行结果如图2-35所示。

频域线性滤波和空滤波一样，其基础都是卷积定理。假设函数f（x，y）与线性移不变系统函数h（x，y）卷积的结果是g（x，y），即满足g（x，y）=f（x，y）^*h（x，y）。其中，“*”表示两个函数的卷积。根据卷积定理，时域的卷积等效为频域的乘法，即h（x，y）^*f（x，y）⇔H（u，v）F（u，v），因此满足G（u，v）=H（u，v）F（u，v）。其中，H（u，v）和F（u，v）分别为h（x，y）和f（x，y）的傅里叶变换，H（u，v）为滤波传递函数。

因此，频域滤波的关键是选择一个合适的滤波器传递函数，以便将F（u，v）修改为H（u，v）。从概念上讲，频域滤波是比较简单和直观的。频域滤波的基本步骤是：

1）计算需要增强图像的傅里叶变换。

2）乘以一个滤波传递函数H（u，v）。

3）将得到的结果进行傅里叶反变换，得到g（x，y）。

这时，可以将g（x，y）视为f（x，y）经过频域滤波后的图像。常用的图像增强方法有低通滤波、高通滤波、带通滤波、带阻滤波和同态滤波。

（1）理想低通滤波器

最理想的低通滤波器是直接“截断”傅里叶变换中的高频成分，仅通过频率为指定的频率D₀以下的低频成分，即理想低通滤波器的二维传递函数为

图2-31所示的是理想低通滤波器的示意图。然而，这种理想低通滤波器是无法采用电子器件实现的，尽管它可以在计算机上仿真实现。实际上常用的低通滤波器主要有巴特沃思低通滤波器、指数低通滤波器等。

图2-31 理想低通滤波器示意图

（2）巴特沃思低通滤波器

截止频率距离原点的距离为D₀，n级巴特沃思低通滤波器（BLPT）的传递函数的定义为

其中，D₀为截止频率，n为巴特沃思低通滤波器的级数（阶数）。不同于理想的低通滤波器，它的传递函数与被滤除的频率之间没有明显的截断。显然，当D(u，v)远小于D₀时，H(u，v)将接近于1；当D(u，v)远大于D₀时，H(u，v)将接近于0。阶数n越高，巴特沃思低通滤波器越接近于理想的低通滤波器。

例程2-25对人为添加了少量椒盐噪声的图像进行巴特沃思低通滤波，其运行结果如图2-32所示。

例程2-25

（3）指数低通滤波器

指数低通滤波器是用来帮助寻找空间域和频率域之间的重要联系的，其传递函数为

其中，D₀是截止频率。当n=2，D（u，v）=D₀时，传递函数降为最大值的。

图2-32 例程2-25的运行结果

a）添加噪声后的图像 b）滤波后的结果

例程2-26对人为添加了少量椒盐噪声的图像进行了一个n=2，截止频率D₀=25的指数低通滤波。MATLAB程序代码如例程2-26所示，图2-33为例程2-26的运行结果。

例程2-26

图2-33 例程2-26运行的结果

a）添加噪声后的图像 b）滤波后的结果

（4）理想高通滤波器

前面所述的低通滤波器通过衰减傅里叶变换的高频成分使图像变得模糊。对低通滤波器进行“反操作”即可得到高频成分，实现高通滤波。这个过程实质上就是图像的锐化过程。它的目的是突出图像的边缘信息，加强其图像的轮廓特征。从图像增强的角度看，它是与图像平滑相反的一类处理。由于高通滤波可以增强图像的边缘和轮廓，可以视为一种特殊的图像增强操作。(https://www.xing528.com)

理想的高通滤波器是直接“截断”傅里叶变换中的低频成分，仅通过频率为指定的频率D₀以上的高频成分。理想高通滤波器的二维传递函数为