模态耦合与模态耦合系统的稳定性分析

两自由度振动系统自由振动的运动方程为

式中，x={x₁，x₂}^T，是位移向量；而m、k均为二阶方阵，分别称为质量矩阵和刚度矩阵。当这两个方阵均为对角阵时，式（3-68）可写成

式中，x={x₁，x₂}^T，是位移向量；而m、k均为二阶方阵，分别称为质量矩阵和刚度矩阵。当这两个方阵均为对角阵时，式（3-68）可写成

即成为两个独立的单自由度系统的运动方程。我们称在坐标x₁、x₂下，这两个自由度既无质量耦合也无刚度耦合，这时x₁、x₂即为该系统的自然坐标，而式（3-69）和式（3-70）即分别为两个模态的运动方程。可是以上两个方程却可能由于载荷中的位移反馈而耦合起来。设上述两个自由度上分别受到激振力-F₁与-F₂的作用，并且假定F₁、F₂本身又同时受到振动位移x₁与x₂的控制，即F₁=F₁（x₁，x₂），F₂=F₂（x₁，x₂），将它们线性化，得F₁=λ₁₁x₁+λ₁₂x₂，F₂=λ₂₁x₁+λ₂₂x₂，于是式（3-69）和式（3-70）变为

即成为两个独立的单自由度系统的运动方程。我们称在坐标x₁、x₂下，这两个自由度既无质量耦合也无刚度耦合，这时x₁、x₂即为该系统的自然坐标，而式（3-69）和式（3-70）即分别为两个模态的运动方程。可是以上两个方程却可能由于载荷中的位移反馈而耦合起来。设上述两个自由度上分别受到激振力-F₁与-F₂的作用，并且假定F₁、F₂本身又同时受到振动位移x₁与x₂的控制，即F₁=F₁（x₁，x₂），F₂=F₂（x₁，x₂），将它们线性化，得F₁=λ₁₁x₁+λ₁₂x₂，F₂=λ₂₁x₁+λ₂₂x₂，于是式（3-69）和式（3-70）变为

对上式移项，并设k₁+λ₁₁=K₁₁，λ₁₂=K₁₂，λ₂₁=K₂₁，k₂+λ₂₂=K₂₂，可将以上两式写成

对上式移项，并设k₁+λ₁₁=K₁₁，λ₁₂=K₁₂，λ₂₁=K₂₁，k₂+λ₂₂=K₂₂，可将以上两式写成

这是两自由度系统自由振动的运动方程，但这两个方程不再是独立的，而是通过新的刚度矩阵K_ij（i，j=1，2）耦合起来。一般文献上将这种耦合称为“模态耦合”，其实更确切地说，应该称为“模态之间的载荷耦合”。

以上讨论中已略去了系统本身的阻尼，而且假定只有位移反馈，因此，如果是单自由度系统，那么如前所述，是不会发生自激振动的。可是，这里是两自由度系统，振动位移在两个自由度之间的交叉反馈有可能导致系统失稳，从而引发颤振。

为了判断由式（3-73）、式（3-74）所表示的系统的稳定性，设形式解为

这是两自由度系统自由振动的运动方程，但这两个方程不再是独立的，而是通过新的刚度矩阵K_ij（i，j=1，2）耦合起来。一般文献上将这种耦合称为“模态耦合”，其实更确切地说，应该称为“模态之间的载荷耦合”。

以上讨论中已略去了系统本身的阻尼，而且假定只有位移反馈，因此，如果是单自由度系统，那么如前所述，是不会发生自激振动的。可是，这里是两自由度系统，振动位移在两个自由度之间的交叉反馈有可能导致系统失稳，从而引发颤振。

为了判断由式（3-73）、式（3-74）所表示的系统的稳定性，设形式解为

代入式（3-73）、式（3-74），得

代入式（3-73）、式（3-74），得

如要有非零解，必须有

如要有非零解，必须有

展开得

展开得

式（3-78）即为特征方程。假定对于式（11-73）、式（11-74）所示的系统，K₁₁＞0，K₂₂＞0（如果不是这样，系统将是静态不稳定的）。令

式（3-78）即为特征方程。假定对于式（11-73）、式（11-74）所示的系统，K₁₁＞0，K₂₂＞0（如果不是这样，系统将是静态不稳定的）。令

可将式（3-78）改写成

p⁴+（n²₁+n²₂）p²+（K₁₁K₂₂-K₁₂K₂₁）/（m₁m₂）=0 （3-80）

由此解出

可将式（3-78）改写成

p⁴+（n²₁+n²₂）p²+（K₁₁K₂₂-K₁₂K₂₁）/（m₁m₂）=0 （3-80）

由此解出

或改写成

或改写成

将解出的（p²）₁与（p²）₂开方，分别得p₁、p₂与p₃、p₄，系统的稳定性即取决于这四个数的取值，而p₁～p₄的取值又与K_ij（i，j=1，2）诸值有关。以下扼要分析诸K_ij之间的关系对p₁～p₄的取值以及系统的稳定性的影响。(www.xing528.com)

1）对于一般的非自激振动的两自由度系统，由式（3-79）知n₁²＞0，n₂²＞0，且根据互易定理，K₁₂=K₂₁，则式（3-82）根号中的部分取正值，即

将解出的（p²）₁与（p²）₂开方，分别得p₁、p₂与p₃、p₄，系统的稳定性即取决于这四个数的取值，而p₁～p₄的取值又与K_ij（i，j=1，2）诸值有关。以下扼要分析诸K_ij之间的关系对p₁～p₄的取值以及系统的稳定性的影响。

1）对于一般的非自激振动的两自由度系统，由式（3-79）知n₁²＞0，n₂²＞0，且根据互易定理，K₁₂=K₂₁，则式（3-82）根号中的部分取正值，即

因此该根式取实数值，再假定K₁₁K₂₂-K₁₂K₂₁＞0，则由式（3-81）知该根式取值小于∣n²₁+n²₂∣，于是（p²）₁、（p²）₂均取负的实数值，设分别为-ω²₁、-ω²₂，这里ω₁、ω₂为正实数。再开方，得

因此该根式取实数值，再假定K₁₁K₂₂-K₁₂K₂₁＞0，则由式（3-81）知该根式取值小于∣n²₁+n²₂∣，于是（p²）₁、（p²）₂均取负的实数值，设分别为-ω²₁、-ω²₂，这里ω₁、ω₂为正实数。再开方，得

这对应于等幅的定常振动，系统是稳定的。

2）假设式（3-83）仍然成立，这时式（3-82）和式（3-81）中的根式取实数值；但如果假定K₁₁K₂₂-K₁₂K₂₁＜0，则根式取值必大于∣n²₁+n²₂∣，于是（p²）1＞0，再开方，得

这对应于等幅的定常振动，系统是稳定的。

2）假设式（3-83）仍然成立，这时式（3-82）和式（3-81）中的根式取实数值；但如果假定K₁₁K₂₂-K₁₂K₂₁＜0，则根式取值必大于∣n²₁+n²₂∣，于是（p²）1＞0，再开方，得

式中，ξ为正实数，解中包含e^ξt的成分，为非周期发散的不稳定解，即静态不稳定解。

综合以上两点，可知在式（3-83）的条件下，系统要么存在稳定的周期运动（由于系统中实际上存在着阻尼，此周期运动必然会被衰减掉），要么出现静态不稳定，但不会产生动态不稳定，即不会发生自激振动。

3）如果有

式中，ξ为正实数，解中包含e^ξt的成分，为非周期发散的不稳定解，即静态不稳定解。

综合以上两点，可知在式（3-83）的条件下，系统要么存在稳定的周期运动（由于系统中实际上存在着阻尼，此周期运动必然会被衰减掉），要么出现静态不稳定，但不会产生动态不稳定，即不会发生自激振动。

3）如果有

则由式（3-82）知两根为共轭复数

（p²）_1，2=-h±il

再开方，得

则由式（3-82）知两根为共轭复数

（p²）_1，2=-h±il

再开方，得

式中，h、l、ξ、ω均为正实数。而由式（3-75）知系统的解为（以x₁为例）

式中，h、l、ξ、ω均为正实数。而由式（3-75）知系统的解为（以x₁为例）

其中前两项即为振幅不断上升的自激振动项。

两自由度（或多自由度）系统因满足式（3-84）而出现的自激振动，称为模态耦合型自激振动。它显然不同于前面讲过的由于负阻尼激发的自激振动，因为这里我们并未涉及阻尼问题。

回顾式（3-79），n₁、n₂是系统的两个自由度在不存在相互耦合的条件下（K₁₂=K₂₁=0）的固有频率；而式（3-84）表明，n₁与n₂这两个频率相距越近，则越易于引起模态耦合的自激振动。这一点，我们在后面还会讲述到。

其中前两项即为振幅不断上升的自激振动项。

两自由度（或多自由度）系统因满足式（3-84）而出现的自激振动，称为模态耦合型自激振动。它显然不同于前面讲过的由于负阻尼激发的自激振动，因为这里我们并未涉及阻尼问题。

回顾式（3-79），n₁、n₂是系统的两个自由度在不存在相互耦合的条件下（K₁₂=K₂₁=0）的固有频率；而式（3-84）表明，n₁与n₂这两个频率相距越近，则越易于引起模态耦合的自激振动。这一点，我们在后面还会讲述到。