RC电路零输入响应优化方案

图4.8所示是一个RC电路,该电路由直流电压源V 0,电阻R 1和R,电容C和开关k组成。t=0时刻前,开关k一直处于位置a。t=0时刻,开关k从位置a移动到位置b。下面分析t＞0之后的电容电压v C(t)。

图4.8　RC电路的零输入响应

当t＜0时,开关k处于位置a,电路为电压源串联电阻R 1和电容C。当电源为直流电压源时,电容可视为开路。经过一段时间后,电容两端电压等于直流电压源电压,且电路达到稳定状态。

用t=0-来表示切换前的瞬间,用t=0+表示切换后的初始瞬间。由于电容电压的连续性,不会发生跳变。因此,电容两端的电压在从位置a切换到位置b后的瞬间是不变的,则切换后电容电压的初始值为

当t＞0时,开关k处于位置b,电路为电阻R和电容C串联。根据KVL方程,可知

根据电容VCR

由式(4.22)和式(4.23)可得一个一阶齐次微分方程

结合(4.21)所示电容电压的初始值,该方程的解为(www.xing528.com)

其中,V 0为电容电压换路之后的初始值。此外,电容电压的变化还与RC值的大小有关。

此处,引入一个新概念——时间常数。在式(4.25)中,确定电流或电压趋近于零的速率。这个速率的倒数定义为电路的时间常数τ,时间常数等于电阻与电容的乘积,可记作

由式(4.26)可知,在零输入响应中时间常数RC控制电流或电压的衰减速率。图4.9描绘了图4.8所示RC电路的电容电压的零输入响应曲线。

图4.9　RC电路的零输入响应曲线

因此,计算RC电路电容电压的零输入响应可分为以下几个步骤:

(1)计算电容电压换路后的初始值v C(0+)=v C(0-);

(2)写出电路的KVL方程和电容的VCR方程构成一阶齐次微分方程;

(3)计算时间常数τ=RC;

(4)求解方程,得到换路后电容电压。