从四杆到五杆：机构偏差表达式求解

如图8-2a所示，要求铰链四杆机构实现已知的给定函数ψ=Q（φ），机构能实现的函数ψ_v=P（a，b，c，α，β，φ），ψ_v是机构的相对尺寸a、b、c、（d=1），连架杆初位角α、β及自变量φ的函数。对给定函数的偏差为

Δψ=P（a，b，c，α，β，φ）-Q（φ）

图8-2 按连架杆对应位置设计机构模型

按该式求解机构的尺寸参数是很困难的。为此将四杆机构转换为如图8-2b所示的五杆机构，它是在四杆机构的连杆上引入一个滑块，其自由度为2的机构模型。两连架杆均为输入构件，故AB和DC可以完全精确地实现给定函数ψ=Q（φ）的运动规律，但b_v为变量。当该变量与四杆机构的连杆长度b的差值Δb=b-b_v很小时，Δψ也很小。根据式（8-2）有加权偏差Δq=qΔψ，因为Δψ很小时Δb也很小，故可以用Δb的加权偏差来表示：

Δq=qΔb

选择q=b+b_v≈2b，则加权偏差为Δq=b²-b²_v。现讨论如何求出该机构的加权偏差解析表达式。由图8-2b可写出矢量方程AB+BC=AD+DC的坐标方程：

acos（α+φ）+b_vcosδ=1+ccos（β+ψ）

asin（α+φ）+b_vsinδ=csin（β+ψ）

将以上两式消去δ得

b_v=1+c²+a²+2ccos（β+ψ）-2accos（ψ-φ+β-α）-2acos（α+φ）(www.xing528.com)

由此得

Δq=2accos（ψ-φ+β-α）+2acos（α+φ）-2ccos（ψ+β）+b²-a²-c²-1（8-1）

在求解机构的三个参数时，可把式（8-1）展开后各项加以归并得到如下广义多项式的形式：

Δq=A[p₀f₀（φ）+p₁f₁（φ）+p₂f₂（φ）-Q（φ）] （8-2）

式中，p₀，p₁，p2是机构待求参数或待求参数的函数；f₀（φ），f₁（φ），f₂（φ），Q（φ）是由给定函数的参数确定的已知表达式，它们随所求参数的不同而有不同的组合形式。

若初位角α，β已知，求机构参数a，b，c时，由式（8-1）、式（8-2）得

若c，β已知，求a，b和α时，有