曲面立体的投影技巧

工程中常见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、球、圆环等。在投影图上表示回转体就是把组成立体的回转面或平面和回转面表示出来，然后判别其可见性。

（一）圆柱

1.圆柱的形成

圆柱面是由直母线AB绕与之平行的轴线OO1回转一周而成的，圆柱表面由圆柱面和上下底圆组成，如图3-6（a）所示。直母线AB在圆柱面上的任一位置称为素线。

2.圆柱的投影

如图3-6（b）所示，圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面；在水平投影上反映实形，其正面和侧面投影积聚为直线。圆柱面的水平投影也积聚为圆，在正面与侧面投影上分别画出决定投影范围的转向轮廓线（即圆柱面可见与不可见部分的分界线）的投影，如正面投影的分界线就是最左、最右两条素线AA1、BB1，它们的投影为a′a′1、b′b′1；在侧面投影上其转向轮廓线则是最前、最后两条素线CC1、DD1，它们的投影为c″c″1、d″d″1。

作图前，应该先画圆中心线和轴线。作图时可先画出水平投影的圆，再画出其他两个投影，此外需注意，左右两条素线的侧面投影a″a″1、b″b″1与前后两条素线的正面投影c′c1′、d′d′1，都分别重合于侧面和正面投影的中心线上，且均不画出，如图3-6（c）所示。显然，相对于正面，分界线AA1和BB1之前的半圆柱面是可见的，其后的半圆柱面是不可见的；相对于侧面，分界线CC1和DD1之左的半圆柱面是可见的，其右的半圆柱面是不可见的。

3.圆柱表面上取点

在圆柱表面上取点，可根据点在圆柱表面上的位置（在上、下底圆上或在圆柱面上）进行判断和作图。如图3-6（c）所示，已知点M的正面投影m′，因为m′可见，所以点M在前半个圆柱面上，其水平投影m必定落在前半圆柱面具有积聚性的水平投影（圆）上。由m、m′可求出m″。

图3-6　圆柱的投影及表面上取点

（二）圆锥

1.圆锥的形成

圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线OO1回转一周而形成的，圆锥表面由圆锥面和底圆共同组成，如图3-7（a）所示。圆锥面上直母线SA经过的任一位置称为素线。

2.圆锥的投影

图3-7（b）所示圆锥的轴线垂直于H面，底面为水平面；底面的水平投影反映实形（圆），其正面和侧面投影积聚为直线。对圆锥，在正面与侧面投影上要分别画出决定投影范围的分界线（即圆锥面可见与不可见部分的分界线）的投影，如正面投影的转向轮廓线就是最左、最右两条素线SA、SB，它们的投影为s′a′、s′b′；在侧面投影上其分界线则是最前、最后两条素线SC、SD，它们的投影为s″c″、s″d″。

图3-7　圆锥的投影及表面上取点

作图时，先画出回转轴线与圆中心线，然后画出底面的各个投影，再画出锥顶的投影，最后分别画出其转向轮廓线的投影，即完成圆锥的各个投影，如图3-7（c）所示。此外需注意，左右两条素线的侧面投影s″a″、s″b″与前后两条素线的正面投影s′c′、s′d′，都分别重合于侧面和正面投影的中心线上，且均不画出。显然，相对于正面，分界线SA和SB之前的半圆锥面是可见的，其后的半圆锥面是不可见的；相对于侧面，分界线SC和SD之左的半圆锥面是可见的，其右的半圆锥面是不可见的。

3.圆锥表面上取点

在圆锥表面上取点可根据圆锥面的形成特性来作图。如图3-7（c）所示，已知圆锥面上点M的正面投影m′，可采用下列两种方法求出点M的水平投影m和侧面投影m″。

方法一：辅助素线法(www.xing528.com)

过锥顶S和点M作辅助素线SⅠ，根据已知条件可以确定SⅠ的正面投影s′1′，然后求出它的水平投影s1和侧面投影s″1″，根据点在直线上的投影性质由m′求出m和m″。

方法二：辅助纬圆法

圆锥表面上垂直于圆锥轴线的圆称为纬圆。过点M作平行于圆锥底面的辅助纬圆，该圆的正面投影为过m′且垂直于圆锥轴线的直线段2′3′，它的水平投影为一直径等于2′3′的圆，m必在此圆周上，由m′求出m，再由m′、m求出m″。

（三）球

1.球的形成

球面是由曲母线（半圆）绕过圆心且在同一平面上的轴线OO1回转一周而成的表面，如图3-8（a）所示。

图3-8　圆球的投影及表面上取点

2.球的投影

图3-8（b）所示为球及其三面投影。球的3个投影均为圆，且直径与球的直径相等，但3个投影面上的圆是不同的转向轮廓线的投影。正面投影上的圆是平行于V面的最大圆D的投影（区分球前、后表面的转向轮廓线的投影），其水平投影与球水平投影的水平中心线重合，侧面投影与球侧面投影的垂直中心线重合，但均不画出；水平投影上的圆是平行于H面的最大圆E的投影（区分球上、下表面的转向轮廓线的投影），其正面投影与球正面投影的水平中心线重合，侧面投影与球侧面投影的水平中心线重合，但均不画出；侧面投影上的圆是平行于W面的最大圆F的投影（区别球左、右表面的转向轮廓线的投影），其正面投影与球正面投影的垂直中心线重合，水平投影与球水平投影的垂直中心线重合，但均不画出。作图时应先画出3个圆的中心线，然后确定球心的3个投影，再画出3个与球等直径的圆，如图3-8（c）所示。

3.球面上取点

如图3-8（c）所示，已知球面上点M的水平投影m，要求出m′和m″。可过点M作一平行于V面的辅助圆，它的水平投影是线段12，正面投影为直径等于线段12的长度的圆，m′必定在该圆上，由m可求得m′，由m和m′可求出m″。根据水平投影判断出点M在前半球面上，因此从前垂直向后看是可见的，即m′可见；同理，点M在左半球面上，从左垂直向右看也是可见的，即m″可见。

当然，也可作平行于H面或平行于W面的辅助圆来求点，读者可以自行分析。

（四）圆环

1.圆环的形成

圆环面是一条圆母线绕不通过圆心但在同一平面上的轴线OO1回转一周而形成的表面，如图3-9（a）所示。圆环面有内环面和外环面之分。

图3-9　圆环的投影及表面上取点

2.圆环的投影

如图3-9（b）所示，圆环面轴线垂直于H面。圆环正面投影上的左、右两圆是圆环面上平行于V面的两圆A、B的投影（区分圆环外环和内环前、后表面的转向轮廓线的投影），细虚线部分表示内环面；侧面投影上两圆是圆环面上平行于W面的C、D两圆的投影（区分圆环外环和内环左、右表面的转向轮廓线的投影），细虚线部分同样表示内环面。圆环的水平投影为两个同心圆，小圆是区分圆环内环上、下表面的转向轮廓线的投影，大圆是区分圆环外环上、下表面的转向轮廓线的投影。同时还要画出一个细点画线圆，表示内环面和外环面的分界线。正面和侧面投影的上、下两直线是区分内环面和外环面的转向轮廓线的投影。

3.圆环面上取点

如图3-9（c）所示，已知环面上点M的正面投影m′，可过点M作平行于水平面的辅助纬圆，求出m和m″。圆环面上取点时，要注意点所在的位置，以便其判断可见性。