如何绘制点A的水平投影？

1.点的投影及其标记

当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。如图2-10a所示，假设空间有一点A，过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a'、a″，便是点A在三个投影面上的投影。

规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a'和a″）表示。

根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2-10b所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图2-10c所示的A点的三面投影图（要与平面直角坐标系相区别）。

图2-10 点的两面投影

2.点的三面投影规律

（1）点的投影与点的空间位置的关系 从图2-10a、b可以看出，Aa、Aa＇、A_a″分别为点A到H、V、W面的距离，即：

A_a=a＇a_X=a″a_Y（即a″a_YW），反映空间点A到H面的距离；

Aa＇=aa_X=a″a_Z，反映空间点A到V面的距离；

A_a″=a＇a_Z=aa_Y（即a_YH），反映空间点A到W面的距离。

上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。

（2）点的三面投影规律 由图2-10中还可以看出：

aa_YH=a＇a_Z即a＇a⊥OX

a＇a_X=a″a_YW即a＇a″⊥OZ

aa_X=a″a_Z

这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系，而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：

1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a＇a⊥OX；

2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a＇a″⊥OZ；

3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即aa_X=a″a_Z。（可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）

根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。

（3）例题（例2-1）已知点A的正面投影a＇和侧面投影a″（图2-11a），求作其水平投影a。

图2-11 已知点的两个投影求第三个投影

a）题目 b）解答

作图步骤：（图2-11b）

过a＇作a＇a_X⊥OX；过a″作a_YW⊥OY_W；以O为圆心，Oa_YW为半径作圆弧交OY_H于a_YW；过a_YH作平行OX轴的直线，与a＇a_X的延长线相交，交点即为所求的水平投影a。

强调：一般在作图过程中，应自点O作辅助线（与水平方向夹角为45°），以表明aa_X=a″a_Z的关系。

3.点的三面投影与直角坐标

（1）点的三面投影与直角坐标的关系 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。投影面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点。

由图2-12可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系：

点A到W面的距离=Oa_X=a＇a_Z=aa_YH=x坐标；

点A到V面的距离=Oa_YH=aa_X=a″a_Z=y坐标；

点A到H面的距离=Oa_Z=a＇a_Z=a″a_YW=z坐标。

(www.xing528.com)

图2-12 点的三面投影与直角坐标

用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成A（x，y，z）的形式。

由图2-12b可知，坐标x和z决定点的正面投影a＇，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影a″，若用坐标表示，则为a（x，y，O），a＇（x，O，z），a″（O，y，z）。

因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐标，就可以量出该点的三面投影。

（2）例题（例2-2）已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，如图2-13a、b所示。

作图步骤：如图2-13c所示。

根据A点的X坐标20，Y坐标10，确定其H面投影a；由于aa＇⊥OX，以及Z坐标18，求其V面投影a＇；再由已经求得的两投影关系求得W面投影a″。

图2-13 由点的坐标作点的三面投影

由点的坐标作立体图，如图2-14所示。

图2-14 由点的坐标作立体图

4.特殊位置点的投影

（1）在投影面上的点（有一个坐标为O）有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。例如在V面上的点A，如图2-15a所示；

（2）在投影轴上的点（有两个坐标为O）有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在OZ轴上的点B，如图2-15b所示；

（3）在原点上的空间点（有三个坐标都为O）它的三个投影必定都在原点上，如图2-15c所示。

图2-15 特殊位置点的投影

5.两点的相对位置

（1）两点的相对位置 设已知空间点A由原来的位置向上（或向下）移动，则z坐标随着改变，也就是A点对H面的距离改变。

如果点A由原来的位置向前（或向后）移动，则y坐标随着改变，也就是A点对V面的距离改变。

如果点A由原来的位置向左（或向右）移动，则x坐标随着改变，也就是A点对W面的距离改变。

综上所述，对于空间两点A、B的相对位置来说：

1）距W面远者在左（x坐标大）；近者在右（x坐标小）。

2）距V面远者在前（y坐标大）；近者在后（y坐标小）。

3）距H面远者在上（z坐标大）；近者在下（z坐标小）。

（2）举例 如图2-16所示，若已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a＇、a″和点B的三个投影b、b＇、b″，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。由于x_A＞x_B，表示B点在A点的右方；z_B＞z_A，表示B点在A点的上方；y_A＞y_B，表示B点在点的A后方。总起来说，就是B点在A点的右、后、上方。

图2-16 两点的相对位置

（3）重影点 若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。

当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，应注意：对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a＇）。

（4）举例 如图2-17中，C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中z_C＞z_D，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。

图2-17 重影点