如何求圆锥的正面投影和水平投影？

【例2-6】 求正四棱柱被截切后的正面投影和水平投影，如图2-6（题）所示。

【解】 1.分析

该棱柱为正四棱柱，由侧面投影可知，用来切割的平面共有四个，分别为两个水平面、一个侧垂面和一个正平面，这四个平面均在侧面具有积聚性，截交线在侧面的投影与四个截平面的积聚性投影重合。求其他两个投影面上的截交线时，分别找到各个用来切割的平面与切过的正四棱柱的表面之间的交线，组合起来即可得到，该截交线为封闭的多边形。

2.步骤

1）首先确定各个用来切割的平面所切过的正四棱柱的表面，其中上面的水平面切过四棱柱的四个侧面，有四条交线；侧垂面切过四个侧面，同样有四条交线；正平面切过两个侧面，有两条交线；下面的水平面切过两条交线；所有的交线组合起来，再补充上截平面之间的交线，即为整个要求解的截交线。

2）为便于求解各条截平面与立体表面以及截平面之间的交线并避免遗漏，通过对侧面投影上各条交线的交点进行编号的方法求解，求出各交点在其他两面的投影，然后同一个面上的两点依次连接起来，即为截交线。

3）求出截交线后，对正四棱柱被截切后的投影进行补充，擦去被截掉部分的投影，按虚实加深图线。

求解结果如图2-6（解）所示，立体图如图2-6（立体）所示。

3.注意事项

1）在求截交线前要首先根据立体形状和截平面位置分析截交线的形状。

2）在取点时，先取特殊位置点，如顶点、拐点等。另外，如果是多个平面组合一起截切，在求出截交线后要注意补画截平面之间的交线。

3）求截交线完成后，最容易遗漏的就是对截切后立体轮廓线的整理，应根据截切情况对投影进行修整。

图2-6 （题）

图2-6 （解）

【例2-7】 求圆柱被截切后的正面投影，并补画完整水平投影，如图2-7（题）所示。

【解】 1.分析

圆柱筒被两个组合在一起的平面截切，根据侧面投影判定分别为正平面和侧垂面。在求解截交线前要首先判断截交线形状，根据截平面相对圆柱的轴线判断。正平面平行于圆柱筒的轴线，因此正平面截切圆柱筒内外表面得到的截交线分别为两条平行于轴线的线段；侧垂面与圆柱轴线相交，截交线为椭圆弧；另外两截平面之间相交，交线为侧垂线，也是截交线的一个部分。

图2-6 （立体）

图2-7 （题）

图2-7 （解）

2.步骤

1）求正平面与圆柱筒截切得到的两段交线，交线的水平投影具有积聚性可直接求出，正面投影由投影对应关系求出。

2）求侧垂面与圆柱筒交线，交线为椭圆弧，水平投影分别积聚在同心圆周上，然后根据投影对应关系，通过取点的方法求出正面投影。取点时首先取特殊位置点，如最高、最低、最左、最右点，然后依次光滑连接各点即可得到正面投影。正面投影的两段椭圆弧形状相同。(www.xing528.com)

3）求两截平面之间交线，并完善正面投影中的转向轮廓线。

求解结果如图2-7（解）所示，立体图如图2-7（立体）所示。

图2-7 （立体）

3.注意事项

1）在求截交线前要首先根据立体形状和截平面位置分析截交线的形状。

2）在求解椭圆弧这段截交线时，特殊点的位置一定要首先确定，因为特殊点一般限定了要求截交线的基本形状和作图范围。

【例2-8】 求圆锥被截切后的正面投影与水平投影，如图2-8（题）所示。

【解】 1.分析

圆锥被截切后的侧面投影表明，用来截切的截平面共有三个，分别为最上面的侧垂面、中间的正平面和最下面的水平面，截切后得到的截交线也由三部分组成。侧垂面与所有圆锥的素线相交，这段截交线为椭圆的一部分；正平面平行于两条素线，截切后得到的截交线为双曲线的一部分；水平面垂直于圆锥的轴线，截交线为圆周的一部分，要求的截交线即由这三段截交线组合而成。

2.步骤

1）求水平面截切后得到的圆周截交线，结果见表2-3步骤1。

2）求正平面截切后得到的双曲线截交线，结果见表2-3步骤2。

3）求侧垂面截切后得到的椭圆截交线，结果见表2-3步骤3。

4）整理截切后圆锥的轮廓线，完成投影，见表2-3步骤4。

图2-8 （题）

表2-3 例2-8解题过程

（续）

立体图如图2-8（立体）所示。

图2-8 （立体）

3.注意事项

1）在碰到组合平面截切立体时，求截交线前首先根据立体形状和截平面位置分析各段截交线的形状，然后组合在一起想象整体形状。

2）求解时对根据第一步的分析结果分段求截交线，尤其要注意截平面之间的交线。