劳斯稳定性判据详解

由系统稳定的充分必要条件可知，只要知道特征方程的根或闭环传递函数的极点是否具有负实部就够了，并不需要知道根的确切数值。劳斯（Routh）和赫尔维茨（Hurwitz）分别于1877年和1895年独立提出根据特征方程的系数判别系统稳定的方法，其本质是一样的，都是以线性系统特征方程的系数为依据，称为劳斯-赫尔维茨判据。

我们仅介绍常用的劳斯判据，利用这个判据，能给出闭环系统有多少个根在右半s平面，有多少个根在左半s平面，有多少个根在虚轴。我们能知道其具体数量，但是不知道其位置。虽然利用计算机可以很快求出闭环传递函数的精确极点位置，但是劳斯判据的强大之处在于设计而不是分析计算。例如，如果闭环传递函数分母中有一个未知参数，通过劳斯判据可以给出使系统稳定的这个未知参数的解析解。

根据劳斯判据判断系统稳定性的步骤如下：

步骤1 列写劳斯行列表。

若系统特征方程为

当an＞0时，把其系数排列成下面所谓的劳斯行列表

当an＞0时，把其系数排列成下面所谓的劳斯行列表

直至其余bi值全部等于零为止。

直至其余bi值全部等于零为止。

直至其余ci值全部等于零为止。

直至其余ci值全部等于零为止。

这一过程一直持续到第n+1行为止。在计算过程中，用正数乘以或除以同一行系数，不改变稳定性结论。

可见，劳斯行列表中的第1行由特征方程的第1、3、5、…项系数组成；第2行由第2、4、6、…项系数组成，第n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数a0，行列表中系数排列呈上三角形。

步骤2 根据劳斯行列表判别系统稳定性。

①如果行列表左端第一列数均为正数，则特征方程（3.9.1）的所有根均位于左半s平面；如果行列表左端第一列有负数，则特征方程（3.9.1）在右半s平面有根，且其数目等于左端第一列符号改变的次数。

②两种特殊情况：

第一种特殊情况：如果劳斯行列表某行左端第一个数为零，而这一行其余的数不全为零，则可用任意小正数ε代替本行第一列的零，继续计算劳斯行列表，然后取ε→0的极限，按上述法则判断。

【例3.9.1】若系统特征方程为

这一过程一直持续到第n+1行为止。在计算过程中，用正数乘以或除以同一行系数，不改变稳定性结论。

可见，劳斯行列表中的第1行由特征方程的第1、3、5、…项系数组成；第2行由第2、4、6、…项系数组成，第n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数a0，行列表中系数排列呈上三角形。

步骤2 根据劳斯行列表判别系统稳定性。

①如果行列表左端第一列数均为正数，则特征方程（3.9.1）的所有根均位于左半s平面；如果行列表左端第一列有负数，则特征方程（3.9.1）在右半s平面有根，且其数目等于左端第一列符号改变的次数。

②两种特殊情况：

第一种特殊情况：如果劳斯行列表某行左端第一个数为零，而这一行其余的数不全为零，则可用任意小正数ε代替本行第一列的零，继续计算劳斯行列表，然后取ε→0的极限，按上述法则判断。

【例3.9.1】若系统特征方程为

试判别其稳定性。

【解】根据系统特征方程列写下面的劳斯行列表(www.xing528.com)

试判别其稳定性。

【解】根据系统特征方程列写下面的劳斯行列表

由于劳斯行列表左端第一列各数均大于零，故系统稳定，系统的4个根均位于左半s平面。

【例3.9.2】若系统特征方程为

由于劳斯行列表左端第一列各数均大于零，故系统稳定，系统的4个根均位于左半s平面。

【例3.9.2】若系统特征方程为

试判断其稳定性。

【解】写出劳斯行列表，并用ε代替第一列出现的零。

试判断其稳定性。

【解】写出劳斯行列表，并用ε代替第一列出现的零。

当ε→0时，劳斯行列表在1处，符号变化2次，故系统不稳定，且有2个根位于右半s平面，系统另外两个根位于左半s平面。

第二种特殊情况：如果劳斯行列表中的某一行所有数全为零，则可用全为零的上一行各数构造一个辅助多项式，并将这个多项式对复变量s求导，用所得导函数方程的系数代替劳斯行列表中的全零行，然后继续计算。对于这种情况，意味着特征方程在s平面存在对称原点的根，这些对称原点的根可由辅助多项式等于零构成的方程解出。辅助方程的阶数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根的个数。

【例3.9.3】若系统特征方程为

当ε→0时，劳斯行列表在1处，符号变化2次，故系统不稳定，且有2个根位于右半s平面，系统另外两个根位于左半s平面。

第二种特殊情况：如果劳斯行列表中的某一行所有数全为零，则可用全为零的上一行各数构造一个辅助多项式，并将这个多项式对复变量s求导，用所得导函数方程的系数代替劳斯行列表中的全零行，然后继续计算。对于这种情况，意味着特征方程在s平面存在对称原点的根，这些对称原点的根可由辅助多项式等于零构成的方程解出。辅助方程的阶数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根的个数。

【例3.9.3】若系统特征方程为

试判别系统的稳定性，若不稳定，指出右半s平面的根的个数。

【解】写出劳斯行列表

试判别系统的稳定性，若不稳定，指出右半s平面的根的个数。

【解】写出劳斯行列表

s3行的辅助多项式函数为

s3行的辅助多项式函数为

用上式的系数代替s3行的数，继续列表

用上式的系数代替s3行的数，继续列表

从劳斯行列表可以看出，第一列数的符号变化2次，系统有2个根在右半s平面，这2个根正是s1，2=1±j1，因此系统是不稳定的，其余5个根位于左半s平面。

从劳斯行列表可以看出，第一列数的符号变化2次，系统有2个根在右半s平面，这2个根正是s1，2=1±j1，因此系统是不稳定的，其余5个根位于左半s平面。