应用劳斯判据设计系统参数的优化方案

在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统的稳定性。如果系统不稳定，则这种判据并不能直接给出使系统稳定的措施；如果系统稳定，则劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能，换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在左半s平面上相对于虚轴的距离。若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，则系统动态过程将具有缓慢的非周期特性或强烈的振荡特性。为了使稳定的系统具有良好的动态响应，我们常常希望在左半s平面上，系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。这个距离，称为相对稳定度，它表示系统的稳定程度。劳斯判据不能给出系统的相对稳定度，但是可以确定使系统具有一定相对稳定度的一个或者两个参数的取值范围。在左半s平面上作一条s=-a的垂线，而a通常称为相对稳定度，然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到一个以s1为变量的新特征方程，对新特征方程应用劳斯稳定判据，可以判别系统的特征根是否全部位于s=-a垂线之左。

【例3.9.4】设比例-积分（PI）控制系统如图3.9.1所示。其中，KI为与积分器时间常数有关的待定参数。已知参数ζ=0.2及ωn=86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的KI取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于s=-1垂线之左，问KI值范围又应取多大？

图3.9.1　比例-积分控制系统

【解】根据图3.9.1可写出系统的闭环传递函数为

因而，闭环特征方程为

列出相应的劳斯行列表

根据劳斯判据，令劳斯行列表中第一列各元为正，求得使系统稳定的KI的取值范围为

当KI=34.6时，s1行的系数为零，可知系统在虚轴上有一对纯虚根，根据

可得s1，2=±86.8j，系统对应的另外一个根在左半s平面。

当要求闭环极点全部位于s=-1垂线之左时，可令s=s1-1，代入原特征方程，得到如下新特征方程

整理得

相应得劳斯行列表为

令劳斯行列表中第一列各项为正，得使全部闭环极点位于s=-1垂线之左的KI取值范围为

如果需要确定系统其他参数，如时间常数对系统稳定性的影响，方法是类似的。一般来说，这种待定参数不能超过两个。

一个闭环反馈系统或者是稳定的，或者是不稳定的，这里所说的“稳定”是指绝对稳定性，而相对稳定度用来衡量稳定系统的稳定程度。(www.xing528.com)

【例3.9.5】目前，大型焊接机器人已广泛应用于汽车制造厂等自动化生产场合。焊接头需要在不同的位置之间移动，需要做出快速准确的响应。焊接头位置控制系统的框图如图3.9.2所示，试确定参数K和a的范围，以保证系统稳定。

图3.9.2　焊接头位置控制系统

【解】系统的特征方程为

应用劳斯判据，可以得到使系统稳定的K和a应满足的关系为

其中a必须为正数。如果令K=40，则参数a必须满足a＜0.639。

【例3.9.6】对于图2.2.3所示倒立摆系统，（1）若f（t）=0，试判别系统的稳定性；（2）若f（t）=aθ+，欲使系统稳定，试确定a、b的数值范围。

【解】倒立摆系统的线性化方程为

（1）当f（t）=0时，

其特征方程为：

由于特征方程缺项或系数异号，不满足系统稳定的必要条件，故系统不稳定。这个结论的物理解释是很明显的，由于倒立摆的重心在支撑点上，在没有控制力平衡时，其位置是不稳定的。

（2）若f（t）=aθ+，则式（3.9.2）变成

其特征方程为：

为使二阶系统稳定，应满足

所以有

上述结论表明，当控制力f（t）比例于摆杆对铅垂线的偏离角θ及其导数，并满足式（3.9.3）时，可以使不稳定的系统变成稳定的系统。本系统的输出量为θ角，而f（t）=aθ+，f（t）的引入使倒立摆系统变成稳定的闭环系统。由此可知，负反馈可以改变系统的稳定性。