劳斯稳定判据简析

分析线性系统稳定性必须解出系统特征方程式的全部根， 再以上述稳定的充要条件判别系统的稳定性。 但是， 对于某些高阶系统， 几乎不可能解出其特征根。 在工程实际上常用的判别控制系统稳定性的方法是采用代数判据， 其主要包括两种判据： 劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据。 两种判定方法在形式上各有特色， 但从运算上是可以相同的， 也常合称为劳斯—赫尔维茨判据。

劳斯稳定判据（下面简称为劳斯判据） 采用了代数方法， 即根据多项式方程的系数，分析在一个多项式方程中是否存在不稳定根， 而不必实际求解这一方程式。 该判据可直接判断系统的绝对稳定性。 下面给出劳斯判据的应用程序。

（1） 写出s 的下列多项式方程：

式中的系数为实数。 假设an≠0， 即排除掉任何零根的情况。

（2） 如果在至少存在一个正系数的情况下， 还存在等于零或等于负值的系数， 那么必然存在虚根或具有正实部的根。 在这种情况下， 系统是不稳定的。 所以， 所有系数均为正是系统稳定的必要条件。

（3） 如果所有的系数都是正的， 则将多项式的系数排列成如下的劳斯表：

劳斯表中的第一列元素按s 的幂次由高到低排列， 只起标识作用， 不参与计算。 第一、二行元素是特征方程式中对应的系数， 直接填入。 从第三行开始的元素要根据前两行的系数依次计算， 计算公式如下：

每行系数用其上两行系数计算而得， 公式中用上一行首项系数的负倒数乘以一个二阶行列式， 该行列式第一列固定不变， 即为两行系数的第一列， 第二列依次更换， 直至计算到系数均为零为止。 这个过程一直进行到第n ＋1 行为止。 系数的完整列阵呈现三角形。

注意： 在计算时， 可对某一行进行缩放， 以简化运算， 而不会对稳定性结论有影响。

（4） 按劳斯表第一列系数符号确定根的分布。

①若符号全为正， 则特征根均在s 平面的左半部， 系统稳定。

②若符号不全为正， 则特征根存在正实部， 其正根数等于符号改变的次数， 系统不稳定。

【例4－1】　设系统特征方程为

试用劳斯判据判断系统是否稳定。

解： 因为ai ＞0 （i ＝0， 1， 2， 3， 4）， 所以系统满足稳定的必要条件。 列出劳斯表：

在计算过程中， 如果某些系数不存在， 则在劳斯表中用零来表示； 当某行乘以一个正数时， 稳定性结果不会发生改变。

计算结果表明， 第一列中符号改变次数为2， 则说明多项式有两个正实部的根， 系统不稳定。

劳斯判据在使用过程中有两种特殊的情况。

（1） 如果某一行中的第一列项等于零， 但其余各项不全等于零。

这时下一行元素计算可得无穷大， 无法进行劳斯检验。 如果要继续进行， 则有两种处理办法。

方法一： 可用一个很小的整数ε 来代替为零的项， 使劳斯表继续下去。

【例4－2】　设系统的特征方程为

试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解： 写劳斯表：

由于ε ＞0， 第一列系数没有变号。 虽然没有s 平面的右半部的根， 但实际上存在一对虚根s ＝±j， 使系统临界稳定。

方法二： 用因子（s ＋a） 乘以原特征方程式， a 可以为任意正数。 然后， 对新的特征方程列写劳斯表。 例如用因子（s ＋1） 乘以例题中的特征方程式得

即s5 ＋4s4 ＋4s3 ＋4s2 ＋4s ＋1 ＝0。

写出新系统的劳斯表：劳斯表中第一列系数有两次变化， 新系统有两个正实部根。 由于因子（s ＋1） 为系统提供的一个负根， 所以， 处理后的系统正根数与原系统相同。

（2） 如果某一行的所有系数都等于零， 则劳斯检验也无法进行。

此种情况表明， 在s 平面内可能存在互为相反数的实根、 虚根或共轭复根。 这些根的特点是以原点为对称点， 成对称形式存在。 由于存在这类根， 系统肯定是不稳定的， 若要检验根的分布情况， 则可用紧靠零行的那行系数构成一个辅助多项式， 并用该多项式导数的系数组成劳斯表的下一行， 使劳斯判据继续下去。

【例4－3】　设系统的特征方程为(www.xing528.com)

试用劳斯判据判断系统是否稳定。

解： 特征方程中系数含有负数项， 不满足稳定的必要条件， 系统一定是不稳定的。 写劳斯表：

可以看出， 第一列符号改变一次， 故有一个正实部的根。 解辅助方程可得s1，2 ＝±1， s3，4 ＝±j5。 显然， 系统不稳定的主要原因是有一个正根， 其次是有一对虚根。

【例4－4】　已知特征方程为

试用劳斯判据分析系统的稳定性。

解： 按劳斯判据的要求， 列出如下劳斯表：

由于出现全零行， 故用s2 行系数构造如下辅助方程：

取辅助方程对变量s 的导数， 得其导数方程

则劳斯表可继续进行， 为

由劳斯表第一列各元素的符号看出， 各元素符号均相同。 如果仅从上述劳斯表看， 则系统是稳定的。 但是要注意， 此时解辅助方程F（s） ＝2s2 ＋2 ＝0， 可以求出产生全零行的特征方程的根为一对共轭纯虚根s1，2 ＝±j， 这说明系统特征方程根中包含一对共轭纯虚根， 因此， 根据稳定性的定义可判定系统为临界稳定。

劳斯判据在工程实际中有很重要的应用， 为使系统满足稳定性的要求， 同样可使用劳斯判据来确定使系统满足稳定性要求的参数范围。

【例4－5】　已知系统结构图如图4－2 所示。 试求使系统稳定时的开环增益K 的取值范围。

图4－2　系统结构图

解： 系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为

列劳斯表：

由劳斯判据可知， 若系统稳定， 则劳斯表中第一列的系数必须全为正值， 所以有如下不等式成立：

于是， 系统稳定时的K 取值范围为

当K ＝14 时， 可以验证此时存在一对虚根， 系统处于临界稳定状态， 因此称K ＝14 为系统的临界开环增益， 且开环增益K 越接近于临界值， 系统的稳定性越差。 因此， 实际系统希望s 平面左半部上的根离虚轴有一定的距离。

【例4－6】　已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

若要求闭环极点的实部均小于－1， 试确定K 的取值范围。

解： 系统的闭环特征方程为

根据劳斯判据可知， 满足题意的K 取值范围为