探究X射线成像技术在确定天体方位中的应用

在光谱频带上，可见光区域的“另一侧”是紫外线区域。正如我们在上一节中所讲到的，地球大气层的透过窗口位于红外区域，绝大部分紫外线被大气吸收了。事实上，正因如此，我们才能安全地生活在地球上：紫外线是诱发皮肤癌的最重要因素。

在紫外线区域“旁边”是X射线区域，参见图4.3。在第2章2.5.2小节中，我们讲到了X射线成像的一个具体应用：通过计算机层析成像（CT）技术来进行医学诊断（1979年的诺贝尔奖）。事实上，X射线成像技术的应用远远早于CT技术，早在1917年，荷兰数学家J.Radon就已经详细地研究了X射线成像的问题，他当时考虑的应用场景是：确定天体的方位，参见图4.14。虽然这个问题和CT技术“似乎”毫无关联，但是，两者在数学上却是“一致的”。

较之于紫外线，X射线具有更高的能量，能够透过大气到达地面。天空中除了我们看得见的星星外，还有很多我们看不见的天体，但是，我们可以（在地面上）通过仪器设备探测其发出（并且到达地面）的射线，例如X射线，来发现这些天体。假设地球上的某一个天文观测站探测到了X射线，我们能否立刻确定发出该X射线的天体的方位？答案是“不能”（即使天空中只有一个这样的天体）。从每一个天文观测站“看过去”，看见的不是一条“直线”，而是一个“椎体”，如图4.14所示。我们只能判断：天体在这个椎体范围之内，而不能确定其具体方位。进一步，我们可以让其旁边的天文观测站继续做观测，以减小天体方位的不确定性。对于只有一个天体的情况，在图4.14所示的例子中，如果(1)观测站探测到了X射线而(2)观测站没有探测到X射线，那么，天体的方位一定位于图中的“区域1”中；如果(1)观测站探没有测到X射线而(2)观测站探测到了X射线，那么，天体的方位一定位于图中的“区域3”中；如果(1)和(2)观测站都探测到了X射线，那么，天体的方位一定位于图中的“区域2”中。随着参与的天文观测站的数目不断增加，图4.14中的“区域”被划分得越来越精细，对天体方位的定位也就变得越来越精确。

图4.14　通过X射线成像来确定天体的方位。对于只有一个天体的情况，如果(1)观测站探测到了X射线而(2)观测站没有探测到X射线，那么，天体的方位一定位于图中的“区域1”中；如果(1)观测站探没有测到X射线而(2)观测站探测到了X射线，那么，天体的方位一定位于图中的“区域3”中；如果(1)和(2)观测站都探测到了X射线，那么，天体的方位一定位于图中的“区域2”中。

事实上，空中不止一个释放X射线的天体，参见图4.15。于是，所有天文观测站所收集到的X射线就会形成一个X射线能量分布图像，类似于图2.15(a)。J.Radon在1910年代所思考的问题是：如何根据（地面上）所有天文观测站所收集到的X射线能量分布图像，来反演出天体（即X射线源）在天空中的分布情况。作为一个数学家，J.Radon建立了线积分投影的数学模型，并且，给出了解析解^[9]：

其中，l=tx cosθy sinθ。这就是著名的Radon反演公式。线积分p(t,θ)又被称为投影，其定义参见第2章中的式(2.66)。

图4.15　空中不止一个释放X射线的天体，所有天文观测站所收集到的X射线就会形成一个X射线分布图像。我们需要根据（地面上）所有天文观测站所收集到的X射线分布图像，来反演出（天空中的）天体分布情况。(https://www.xing528.com)

学习过“信号与系统”相关课程的读者朋友，应该能够看出：式(4.31)是一个卷积，并且，通过式(2.72)，能够给出卷积的具体形式。注意：当直线L(t,θ):tx cosθy sinθ=0经过点(x,y)时，l=0，此时，1/l=∞。因此，式(4.31)中的二重积分是一个瑕积分，计算过程中需要做一些工程化的近似处理，参见习题4.11。

最后，我们需要解释的是：为什么估计天体分布和计算机层析成像具有相同（或及其相似）的数学模型？其实原因非常简单：

•X射线沿直线传播，对应于图2.14中的扫描线。探测X射线的能量分布事实上就是一个线扫描过程。

因此，探测到的X射线能量分布就是：对放射源能量的线积分！

为了更好地理解上述关系，我绘制了图4.16。让我们来考虑计算机层析成像（CT）中的锥束扫描（Fan-beam scanning）方式，如图4.16(a)所示。放射源和（扇形的）图像传感器都在围绕圆心不停地转动，不停地进行X射线成像。图4.16(a)中的数字“56”表示第56次成像。图4.16(b)中给出了：一次完整的CT扫描过程中所对应的所有的扫描线。图4.16(c)中给出了地球表面天文观测站进行X射线探测过程中所对应的“虚拟扫描线”，不同于图4.16(a)，在图4.16(c)中，对应的X射线“图像传感器”（即天文观测仪器）位于地球表面。图4.16(d)中给出了地球上所有天文观测站对（天空中的）X射线源的全方位观测过程中所对应的所有“虚拟扫描线”（即所有的观测方向）。通过图4.16，我们不难发现两者之间的关系：

图4.16　两个不同的物理过程：计算机层析成像（CT）与（通过X射线）探测天体方位，对应于同一个数学模型。(a)在锥束扫描过程中，放射源和（扇形的）图像传感器都在围绕圆心不停地转动，不停地进行X射线成像（数字“56”表示第56次成像）。(b)一次完整的CT扫描过程中所对应的所有的扫描线。(c)地球表面天文观测站进行X射线探测过程中所对应的“虚拟扫描线”，X射线的“图像传感器”（即天文观测仪器）位于地球表面，但是，图中的直线与图(a)中的直线却是一一对应的。(d)地球上所有天文观测站对（天空中的）X射线源的全方位观测过程中的所有观测方向（或“虚拟扫描线”），这些直线与图(b)中的所有“扫描线”是完全一致的。

•图4.16(a)与图4.16(c)中的直线是一一对应的，因此，图4.16(b)与图4.16(d)中的所有直线是完全一致的！也就是说，两者对应于同一个数学模型，即第2章2.5.2小节中的式(2.67)。在习题4.10中，我们详细分析了图4.16中的线扫描过程。

图4.17　“响尾蛇”A IM-9是世界上第一种红外制导空对空导弹（图片来自于网络）