低通和带通抽样定理

抽样定理是模拟信号数字化的理论依据，它能保证模拟信号在数字化以后不失真。根据模拟信号频谱分布的不同，通常可以将模拟信号分为低通型信号和带通型信号两种形式，对不同形式的模拟信号，应选择合适的抽样定理。

1.低通抽样定理

低通抽样定理可表述为一个频带限制在 0～fH的低通信号s(t)，如果以fs≥2fH的采样频率进行均匀采样，则所得的样值可以完全地确定原信号s(t)。下面简单证明一下这个定理。

理论上，抽样可以看作是用周期性单位冲激信号（称为梳状函数）和模拟信号相乘的过程（此时的抽样为理想抽样）。

假设模拟信号为f(t)，梳状函数为δT(t)，抽样后信号为fs(t)。则

若模拟信号f(t)的频谱为F(ω)，梳妆函数的频谱为δT(ω)，抽样信号的频谱为Fs(ω)。则

其中梳状函数的频谱为

所以，抽样后信号的频谱为

由于梳状函数的频谱仍然是周期性单位冲激串，模拟信号f(t)经过抽样以后所得到的抽样信号fs(t)，从频谱上讲相当于频谱搬移的过程。即把模拟信号的频谱F(ω)线性搬移到0、±fs、±2fs…±nfs等处，然后把这些搬移以后的频谱进行线性组合即可得到抽样信号的频谱Fs(ω)。

由此可以看出，抽样信号是完全包含模拟信号的所有频谱成分的（特别地，当 n＝0 时，抽样信号的频谱与模拟信号的频谱相同）。这样，在接收端就可以通过低通滤波器恢复出模拟信号来。抽样过程也可以用图解方法来解释，如图 5-2-1 所示。

从图 5-2-1 可以看出，当抽样频率fs<2fH时，模拟信号频谱经过搬移后所得到的抽样信号中将会出现频谱混叠的现象。这样，接收端通过滤波器将无法恢复出原始的模拟信号。

图5-2-1　低通型模拟信号的抽样过程

实际应用中，为了提高系统可靠性，通常会留出一定的防护频带。例如，国际电报电话咨询委员会（Consultative Committee on International Telephone and Telegraph，CCITT）建议对于 3 400 Hz 带宽的电话信号，取样频率为 8 000 Hz，留出了 8 000－6 800＝1 200（Hz）作为防护频带。

特别地，把fs=2fH时的频率称为奈奎斯特频率，此时对应的抽样周期Ts称为奈奎斯特间隔。

2.带通抽样定理

实际应用中还会遇到很多带通信号，这种信号的带宽B远小于其中心频率。若仍然按照低通抽样定理来确定抽样频率fs，则会导致抽样频率fs过高，实际上，并不需要这样高的抽样频率。下面简单介绍一下带通信号的抽样定理。

可以证明：假设带通信号f(t)的下限频率为fL，上限频率为fH，带宽为 B。当抽样频率fs满足(www.xing528.com)

f(t)可以由抽样点值序列fs(nTs)完全描述。

式（5-2-5）中，n 为商（fH/B）的整数部分，n＝l，2，…；k 为商（fH/B）的小数部分，0 < k < l。

【例5-2-1】载波电话 60 路超群信号中，频带范围为 312～552 kHz，试求最低取样频率fs。

解：信号带宽 B=fH−fL=552−312=240 (kHz)

得

n＝2，k＝0.3

代入公式（5-2-5）中，得最低取样频率fs=552 kHz。

如果该 60 路超群信号按低通型抽样定理求解抽样频率，则为

fs≥2fH＝1 104（kHz）

显然，带通型抽样频率优于低通型。

【例5-2-2】带宽为 48 kHz 的 FM 模拟信号，频分多路系统上限频率 1 052 kHz，下限频率为 1 004 kHz，试求最低取样频率fs。

解：信号带宽 B=fH−fL=1 052−1 004=48 (kHz)

得

n＝21，k＝0.9

代入公式（5-2-5）中，得最低取样频率fs=100 kHz。