最小码距与检错/纠错的关系简析

前面已经提到，信道编码的基本思想是在被传送的信息码元中附加一些监督码元，在两者之间建立某种校验关系，当这种校验关系因传输错误而受到破坏时，可以被发现并予以纠正。下面我们通过一个例子进一步说明检错/纠错的原理，以及最小码距与检错/纠错的关系。

若传送“晴”和“雨”两种天气信息，则只需一位数字编码就可以表示（假设“1”表示“晴”，“0”表示“雨”）。当传输代表“晴”的码组“1”时，由于受到信道干扰，在接收端收到的却是码组“0”，这种情况下接收端是无法发现这一差错的。因为码组“1”和“0”都是许用码组（一般把按照规则允许使用的码组称为许用码组，不符合规则的码组称为禁用码组），所以接收端收到码组“0”就认为发送端传输的是“雨”的天气。但是，如果发送端分别用两位编码来表示“晴”和“雨”时，情况则不一样。比如用“11”表示“晴”，用“00”表示“雨”，当传输代表“晴”的码组“11”时，由于受到信道干扰，发生了一位误码，在接收端收到的码组为“10”，此时接收端就能判断收到的信息有误，因为码组“10”属于禁用码组，但却不能纠正，因为许用码组“11”和“00”错一位后都可以变成“10”。如果采用三位编码，用“111”表示“晴”，用“000”表示“雨”，当传输代表“晴”的码组“111”时，由于受到信道干扰发生了一位误码，在接收端收到的码组为“110”，此时接收端不但能够判断错码，而且还能进行纠错，因为码组“11O”属于禁用码组，所以能够检错，又因为“110”是许用码组错一位得到的，故发送端发送的一定是码组“111”。

在上述例子中，把传输码组中“1”的数目称为码组的重量，简称码重，把两个传输码组对应位上数字不同的位数称为码组距离，简称码距（也称汉明距离）。例如，传输码组1011的码重为3，传输码组1011和1111的码距为1。在某种编码方式中，各个码组间距离的最小值称为最小码距d0。

一种编码方式中的最小码距d0的大小将直接关系到该传输码组的检错和纠错能力。具体关系如下。(www.xing528.com)

（1）为了检测e个随机错误，则要求码组的最小码距d0≥e+1。

（2）为了纠正t个随机错误，则要求码组的最小码距d0≥2t+1。

（3）为了纠正t个随机错码，同时检测e个随机错误，则要求码组的最小码距d0≥e+t+1（e≥t）。