众所周知，晶体（crystal）是有明确衍射图案的固体，其原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列。晶体中原子或分子的排列具有三维空间的周期性，隔一定的距离重复出现，这种周期性规律是晶体结构中最基本的特征。晶体内部结构中的质点（原子、离子、分子、原子团）有规则地在三维空间呈周期性重复排列，组成一定形式的晶格，外形上表现为一定形状的几何多面体。晶体的理想外形或其结构都是对称图像。这类图像都能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原。这样的操作称为对称操作，平移、旋转、反映和倒反都是对称操作。能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。在晶体结构中空间点阵所代表的是与平移有关的对称性。此外，还可以含有与旋转、反映和倒反有关并能在宏观上反映出来的对称性，称为宏观对称性，它在晶体结构中必须与空间点阵共存，并互相制约。空间点阵由3条不重合的矢量构成的空间重复单元构成，这种空间单元只具有7种形式，分别为三斜、单斜、正交、四方、三方、六方、立方三角晶系。
根据晶体的对称性，七大晶系分别对应14种布拉菲格子、32个点群和230个空间群。在32个点群中间，其中有21种非中心对称点群和10种中心对称点群。在固体物理中，点群与晶类（crystal class）有等同的含义。点群与对称要素和对称操作群两个概念有关。对称操作群是由物体的对称操作构成的群。对称操作即物体在正交变换（保持两点间距离不变的几何操作，如旋转、反伸、反映）下不变，则该变换为物体的对称操作。群的数学概念为集合和其上的一种运算构成一个群。群要求满足封闭性，存在单位元素和逆元素，满足该运算的结合律；简单地说，群是按照某种规律相互联系着的一组元素的集合。群的元素可以是字母、数字等，在晶体对称理论中，群的元素是对称操作。对称要素包括对称中心、对称轴、对称面、旋转反伸轴和旋转反映轴。对称要素可用普通符号、国际符号和Schoenflies符号3种方式表示。可以证明，晶体中对称要素共有8种，分别是1、2、3、4、6、m、i、-4（这里用国际符号表示，准晶中还可以出现其他对称要素）。对称轴是一根假想直线，n重旋转轴是指若物体绕某轴转2π/n及2π/n的整数倍，物体不变，则该轴为物体的n重旋转轴。
有了点群的划分，就可以表示任何一种晶体具体的结构对称性。点群的国际符号一般由3位组成，分别表示3个特定方向上的对称元素，不同晶系中3个方向的选取自然不同，如钛酸钡的六方晶系就可表示为6/mmm。晶体内部结构中全部对称要素的集合称为“空间群”。一切晶体结构中总共只能有230种不同的对称要素组合方式，即230个空间群。它是由俄国结晶学家费多洛夫和德国结晶学家薛弗利斯（Artur Moritz Schoenflies，1853—1928）于1890—1891年间各自独立地先后推导得出来的，故也称为“230个费多洛夫群”。空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与之相适应，即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；另一类称为复杂空间群或称非点空间群。
点空间群是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成[R|t（αβγ）]，其中R表示点群对称操作，t（αβγ）表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间3个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴、一个点、一个面，而是整个点阵。(www.xing528.com)
与平移有关的对称要素有3个：①点阵，与其相应的操作是平移；②螺旋轴，相应的操作是转动和平移组成的复合对称操作；操作进行时，先绕一轴转动一定角度，然后再沿与此轴平行的方向进行平移（或先平移再转动），螺旋轴的轴次也只有1、2、3、4和6，对于n重螺旋轴，沿轴向的平移，应符合晶体的周期性要求；③滑移面，相应的操作是镜像和平移组成的复合操作；操作进行时，先通过某一平面进行镜像，然后再与平面平行的方向上平移一定距离，该平面就称滑移面。应该注意，与点阵、螺旋轴、滑移面对应的对称操作，空间上的每一点都移动了，具有这种性质的操作称为空间操作。因为空间操作直接与晶体微观结构的周期性相联系，故也称微观对称操作，其阶为∞。与空间操作相对应的对称操作要素只能存在于无限的结构中，而不能存在于有限的晶体中。包括了这些与平移有关的操作之后，晶体的对称运动可以全部分类成230个对称操作群，称晶体空间群，也称空间群。
对于铁电性，化合物需要离子或电子的对称破缺。这意味着它们应属于21个非中心对称晶体类中的10个极化点群（1、2、3、4、6、m、mm2、4mm、3m、6mm）中的一个。晶体的物理性质和非中心对称化合物（NonCentro Symmetric compounds，NCS）类别之间的相互关系显示在图1.1中[3]。非中心对称材料可以具有一些或全部以下性质：对映异构体（Enantiomorphism）、旋光性（即圆二色性）、压电性能和热电性能。需要注意的是，二阶非线性光学（Non Linear Optical，NLO）行为，即二次谐波产生（Second-Harmonic Generation，SHG）具有与压电性相同的对称性要求。有一些有趣的相互关系发生在对称相关属性之间。例如，所有热释电具有SHG行为，但是反过来却不成立。对映异构晶体存在于11种点群类别，分别为1（C1）、2（C2）、3（C3）、4（C4）、6（C6）、422（D4）、222（D2）、622（D6）、32（D3）、23（T）和432（O），所有这些材料都是光学活性的（即圆二色性原理）。只有点群1（C1）、2（C2）、3（C3）、4（C4）和6（C6）具有所有对称性相关属性。
图1.1 国际符号海尔曼-摩根（Hermann-Mauguin）和申弗利斯（Schoenflies）符号的非中心对称晶体的相互关系[3]
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