图4-4 曲面立体截交线
曲面立体的截交线一般为封闭的平面曲线，但也可能是多边形，或者是直线和曲线的组合图形，如图4-4所示。截交线是截平面与曲面立体表面的共有线。截交线上的任何点都是截平面与曲面立体表面的共有点。因此求截交线可归结为求截平面与曲面立体表面的若干个共有点，以后会看到，经常要利用“共有点”及“在曲面立体表面取点”的方法求截交线的投影。
求曲面立体截交线的方法如下:
（1）分析。截交线的形状及投影形状。截交线的形状取决于两个因素:①立体表面的性质，如是圆柱、圆锥还是圆球。②截平面与曲面立体的相对位置；截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。
（2）求点。我们只讨论截平面为特殊位置的情况，既然是特殊位置，至少有一个截交线投影具有积聚性，从这一个或两个投影出发，先取若干点，再根据在曲面立体表面上取点的方法，求得它们的其他投影。取点时，先取特殊点，再取一些中间点。
（3）连线。把求得点按相邻顺序连接，连线时应注意曲线的光滑、图形的对称性及可见性。立体如被截断，其轮廓线一定会发生变化。截交线在立体的可见部分，是可见的，不在可见部分则不可见。
为了确切地表示截交线，我们应首先求出确定截交线形状和范围的点，这些点称为特殊点。特殊点主要包括:
（1）曲面外形轮廓线上的点。
（2）曲面边界上的点。
（3）反映截交线特征的点。
（4）极限位置点。
图4-5 平面截圆柱的三种截交线形状
平面截圆柱时，截交线有三种情况，如图4-5所示。
当截平面平行于圆柱轴线时，截交线是两条素线；当截平面垂直于圆柱轴线时，截交线是圆；当截平面倾斜于圆锥轴线时，截交线是椭圆；当截交线是前两种情况时，截交线都好求，当截交线是椭圆时，我们如何求呢？下面我们看个例题。
【例4-2】 求圆柱的截交线。如图4-6（a）所示。
曲面外形轮廓线上的点；曲面边界上的点，当圆柱、圆锥的底边参与相交时，应求出底边上的点。反映截交线特征的点，如椭圆长、短轴的端点，双曲线、抛物线的顶点等；极限位置点，如截交线的最高、最低点，最前、最后点和最左、最右点。首先讨论圆柱的截交线。
(www.xing528.com)
图4-6 圆柱的截交线求法
分析:由于截平面与圆柱轴线倾斜，截交线是椭圆。下面我们来分析截交线的投影形状。截交线是截平面与立体表面的共有线，由于截平面的正面投影有积聚性，所以截交线的正面投影已知，圆柱面的水平投影有积聚性，积聚在圆周上，所以截交线的水平投影已知，只需求其截交线的侧面投影。下面我们求点。
（1）求特殊点。
先求特殊点:首先找曲面外形轮廓线上的点，Ⅰ、Ⅱ是正视外形轮廓线上的点，也是最低点和最高点，同时也是椭圆长轴的两个端点。Ⅲ、Ⅳ点是侧视外形轮廓线上的点，也是最前点、最后点，也是椭圆短轴的两端点。从1′、3′、2′、4′直接引投影连线，即可求得1″、3″、2″、4″及1、3、2、4，如图4-6（b）所示。
（2）求中间点。
特殊点都求出后，再求中间点:在正面投影1′、3′之间取5′、（6′），在2′、4′之间取7′（8′），引投影连线可求得这些点的水平投影5、6、7、8，再根据水平投影到前后对称面的距离等于侧面投影到前后对称面的距离可求得它们的侧面投影5″、6″、7″、8″。
（3）连线。
判别可见性并连线:由于圆柱被截断，其上方的轮廓线不存在，所以截交线的侧面投影可见，用实线连接。由俯视图可知，它的连线顺序是1—5—3—7—2—8—4—6—1。同理，光滑连接1″—5″—3″—7″—2″—8″—4″—6″—1″即为左视图上的椭圆，如图4-6（c）所示。
平面截圆锥，截交线可能是三角形、圆、椭圆、抛物线或双曲线，如图4-7所示。
图4-7 平面截圆锥的五种截交线形状
当截平面通过锥顶时，截交线是三角形；当截平面垂直轴线时，截交线是圆；当截平面于所有素线相交时，截平面是椭圆；当截平面平行于圆锥面上的某一素线时，截交线是抛物线；当截平面平行于圆锥的轴线时，截交线是双曲线。
【例4-3】 圆锥被平行于轴线的平面所截，求其截交线，如图4-8所示。
分析:由于截平面为正平面，平行于圆锥轴线，所以截交线为双曲线。由于截平面的水平投影有积聚性，所以截交线的水平投影已知。截交线的正面投影反映实形。我们可根据截交线的水平投影，在其上取特殊点和若干中间点，通过面上取点的方法求出这些点的正面投影，连线即可。下面求点:先求特殊点，首先求出截平面与底圆的两个交点1、2，1、2也是最低点，且是最左、最右的点；因为1、2在底圆上，作投影连线即得它们的正面投影。Ⅲ是双曲线的顶点，也是最高点，可利用辅助圆法求出。再取两个左右对称的中间点4、5，用辅助圆法求出正面投影。
图4-8 圆锥表面截交线求法
判断可见性并连线:因为截平面的正面投影可见，所以用实线连接。
以上我们讨论的都是用单一截平面截切立体，当用多个截平面截立体时，只需求出每个截平面与立体的截交线，另外还应注意求出两个截平面之间的交线。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
