拉伸与压缩：材料强度与变形的力学性能

任务导引

轴向拉伸与压缩是工程中常见的一种基本变形，如图8.1.1（a）所示支架中，AB杆受到拉伸、BC杆受到压缩［见图8.1.1（b）］。这类杆件的受力特点是：外力或合外力的作用线与杆件的轴线重合。变形特点是：杆件沿轴线伸长或缩短。杆件的这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。

图8.1.1　拉伸和压缩的实例

任务要求

（1）掌握内力与外力的区别；

（2）会用截面法计算杆的轴力，并会画轴力图。

任务实施

一、轴力和应力

1.轴　力

为了对拉压杆进行强度计算，首先分析其内力。

2.横截面上的应力

拉压杆横截面上的轴力是横截面上分布内力的合力，为确定拉压杆横截面上各点的应力，需要知道轴力在横截面上的分布。实验表明，拉压杆横截面的内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面（见图8.1.2）。因此，拉压杆横截面上各点产生的是正应力σ。

图8.1.2　内力

图8.1.3　应力

二、轴力与轴力图

1.轴力

在轴向载荷F作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力FN，轴力或为拉力，或为压力，为区别起见，通常规定拉力为正，压力为负。

图8.1.4

2.轴力计算

平衡方程：ΣFx＝0，FN1－2F＝0得AB段的轴力为

FN1＝2F

对于BC段，由平衡方程：ΣFx＝0，F－FN2＝0

得BC段的轴力为

FN2＝F

以上分析表明，在AB与BC杆段内，轴力不同。为了形象地表示轴力沿杆轴（即杆件轴线）的变化情况，并确定最大轴力的大小及所在截面的位置，常采用图线表示法。作图时，以平行于杆轴的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴的另一坐标表示轴力，于是，轴力沿杆轴的变化情况即可用图线表示。

表示轴力沿杆轴变化情况的图线，称为轴力图。例如图8.1.5中的坐标图即为杆的轴力图。

图8.1.5

【例1】图8.1.6中所示为右端固定梯形杆，承受轴向载荷F1与F2作用，已知F1＝20kN（千牛顿），F2＝50kN，试画杆的轴力图，并求出最大轴力值。

图8.1.6

解：（1）计算支反力

设杆右端的支反力为FR，则由整个杆的平衡方程

ΣFx＝0，F2－FR＝0

得

FR＝F2－F1＝50kN－20kN＝30kN

（2）分段计算轴力

设AB与BC段的轴力均为拉力，并分别用FN1与FN2表示，则可知

FN1＝F1＝20kN

FN2＝－FR＝－30kN

（3）画轴力图

|FN|max＝30KN

三、拉压杆的应力

现在研究拉压杆横截面上的应力分布，即确定横截面上各点处的应力。首先观察杆的变形。如图8.1.7所示为一等截面直杆，试验前，在杆表面画两条垂直于杆轴的横线1—1与2—2，然后，在杆两端施加一对大小相等、方向相反的轴向载荷F。从试验中观察到：横线1—1与2—2仍为直线，且仍垂直于杆件轴线，只是间距增大，分别平移至图示1′—1′，2′—2′位置。

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图8.1.7　等截面直杆

根据上述现象，对杆内变形做如下假设：变形后，横截面仍保持平面且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴相对平移。此假设称为拉压杆的平面假设。对于均匀性材料，如果变形相同，则受力也相同。

由此可见，横截面上各点处仅存在正应力σ，并沿截面均匀分布。

设杆件横截面的面积为A，轴力为FN，则根据上述假设可知，横截面上各点处的正应力均为

σ＝FN/A

或

σ＝F/A

上式已为试验所证实，适用于横截面为任意形状的等截面拉压杆。

由上式可知，正应力与轴力具有相同的正负符号，即拉应力为正，压应力为负。

【例2】在例1所示的阶梯形圆截面杆，杆端AB与BC的直径分别为d1＝20mm，d2＝30mm，试计算杆内横截面上的最大正应力。

解：根据例1得，杆段AB与BC的轴力分别为

FN1＝20kN，FN2＝－30kN

AB段的轴力较小，但横截面面积也较小，BC段的轴力虽较大，但横截面面积也较大，因此，应对两段杆的应力进行计算。

由σ＝F/A可知，AB段内任一横截面的正应力为

而BC段内任一横截面的正应力则为

图8.1.8

可见，杆内横截面上的最大正应力则为

σmax＝σ1＝63.7MPa

四、材料在拉伸与压缩时的力学性能

材料的力学性能，主要指材料受外力作用时，在强度和变形方面所表现出来的性能。此内容在之前任务中已经讲解。

五、拉伸与压缩时的强度计算

1.许用应力与安全系数

材料丧失正常工作能力时的应力，称为极限应力。通过前面对材料力学性能的研究，可知塑性材料和脆性材料的极限应力分别为屈服点和抗拉强度。为了确保杆件在外力作用下安全可靠地工作，应使它的工作应力小于材料的极限应力，并使杆件的强度留有必要的强度储备。为此，将极限应力除以一个大于1的系数作为杆件工作时允许产生的最大应力，这个应力称为许用应力，用[σ]表示。

对于塑性材料：

对于脆性材料：

式中　ns——屈服安全系数；

nb——断裂安全系数。

确定安全系数的大小是一项很重要的工作，它不仅反映了杆件工作的安全程度和材料的强度储备量，又反映了材料合理使用的情况。安全系数取得过大，浪费材料，且使杆件笨重；取得太小则不安全。所以安全系数的选取涉及安全与经济的问题。对一般杆件常取ns＝1.3～2.0，nb＝2.0～3.5，在具体应用时可查阅机械设计手册。

2.拉伸与压缩的强度条件

为了保证杆件具有足够的强度，必须使其最大工作应力σmax小于或等于材料在拉伸（压缩）时的许用应力[σ]，即

上式称为拉（压）杆的强度条件，是拉（压）杆强度计算的依据。产生最大正应力σmax的截面称为危险截面。

式中　FN——危险截面的轴力；

A——横截面面积。

根据强度条件，就可以解决强度校核、设计截面和确定许可载荷三个方面的问题。

任务拓展与反思

1.绘制轴力图。

图8.1.9

2.如图8.1.10所示三角形托架，AC杆为圆截面杆，直径d＝20mm，BD杆为刚性杆，D端受力为15kN。试求AC杆的正应力。

图8.1.10

3.图8.1.11所示为轴向拉压杆，AB段横截面面积为A2＝800mm2，BC段横截面面积为A1＝600mm2。试画出轴力图并求各段的工作应力。

图8.1.11