周期信号的幅值谱和相位谱特征分析

一、周期信号的频谱特征

谐波信号是最简单、最基本的周期信号。那么，一般的非谐波周期信号能否化成一些简单的谐波信号的叠加呢？回答是肯定的。其数学工具就是傅里叶级数。下面不加证明地给出傅里叶级数定理。

傅里叶级数定理 以T为周期的函数x（t），如果在[﹣T/2，T/2]上满足狄利克雷条件，即函数在[﹣T/2，T/2]上满足：①连续或只有有限个第一类间断点（即左、右极限均存在但不相等的间断点）；②只有有限个极值点，那么在[﹣T/2，T/2]上就可以展开成傅里叶级数。在x（t）的连续点处，级数的三角形式为

其中，

式中，a0/2称为直流分量；ω0称为基频；nω0称为n阶频率；an称为余弦分量的幅值；bn称为正弦分量的幅值。

由三角变换，式（1-5）可以简化为

其中，

式（1-6）清楚地表明，非谐波周期信号是由两个乃至无穷多个不同频率的谐波信号叠加而成，各谐波成分所占的比重并不相同，工程上常用两种图形加以描述。以频率ω为横坐标，幅值An为纵坐标所作的图称为幅值谱图，它揭示了各频率成分幅值所占的比重。以频率ω为横坐标，相位为纵坐标所作的图称为相位谱图，它揭示了各频率成分的初相位情况。由于频率取值是离散的，所以周期信号的幅值谱和相位谱都是离散谱。频谱是构成信号x（t）的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅值大小和初始相位，从而揭示了信号的频率信息。

例1-1 求图1-1（a）所示周期方波的傅里叶级数展开式，绘出其幅值谱与相位谱图。

图1-1 周期方波及其幅值谱与相位谱

（a）时城图；（b）幅值谱图；（c）相位谱图

解 x（t）在一个周期内的表达式为

代入式（1-5），得

（x（t）为奇函数，在对称区间上积分等于零）

周期方波的傅里叶级数展开式为

由上式可作出周期方波的幅值谱与相位谱图，分别如图1-1（b）和（c）所示。幅值谱只包含基波和奇次谐波的频率分量，随着频率的提高，谐波的幅值以1/n的规律收敛。其1，3，5次谐波逐次叠加后的图形如图1-2所示。很清楚，傅里叶级数是对周期信号的谐波分解。

图1-2 1，3，5次谐波逐次叠加后的图形

（a）1次；（b）1，3次；（c）1，3，5次

式（1-5）和式（1-6）是傅里叶级数的实数形式。利用以下欧拉公式，可以进一步导出傅里叶级数的复数形式。由于

则式（1-5）可改写为

令，则上式可简写成

以上三式可合写成一个式子：

式（1-7）与式（1-8）就是傅里叶级数的复指数形式。

cn与c﹣n（n＝1，2，3，）为共轭关系，即因此，|cn|＝|c﹣n|，∠cn＝﹣∠c﹣n。显然还有

以上两式揭示了复指数形式与三角形式系数之间的关系。

为了说明|cn|与∠cn的含义，可将式（1-7）进一步写成：(www.xing528.com)

由于丨c﹣n丨sin（﹣nω0t＋ ∠c﹣n）＝ |cn|sin（﹣nω0t－∠cn）＝﹣ |cnsin（nω0t＋∠cn）

所以式（1-9）中右边的第二项等于零，从而有

从式（1-10）可见，|cn|为谐波分量的幅值；∠cn为谐波分量的初相位。以频率为横坐标，|cn|为纵坐标所作的图称为（双边）幅值谱，它同样表达了各频率成分所占的比重。以频率为横坐标，相位∠cn为纵坐标所作的图称为（双边）相位谱，它表达了各频率成分的初相位情况。（双边）幅值谱是对称谱，（双边）相位谱是反对称谱。以频率为横坐标，cn的实部cnR为纵坐标所作的图称为实频图；以频率为横坐标，cn的虚部cnI为纵坐标所作的图称为虚频图。实频图是对称图形，虚频图是反对称图形。

图1-3 负频率的说明

在双边幅值谱和双边相位谱以及实频图和虚频图中，横坐标即圆频率ω取值是从﹣∞到﹢∞，这一点与单边谱不同。出现负频率似乎不好理解，实际上角速度按其旋转方向可以有正、有负，一个向量的实部可以看成是两个旋转方向相反的向量在其实轴上的投影之和，如图1-3所示。图中：

负频率的出现，完全是数学上的表达方式，无任何实际物理意义。

例1-2 画出余弦、正弦函数的单边、双边、实部、虚部频谱图。

解 由欧拉公式有

对余弦函数有

对正弦函数有

故余弦函数只有实频谱图，与纵轴对称；正弦函数只有虚频谱图，与纵轴反对称。图1-4是这两个函数的频谱图。

周期信号的频谱具有离散性，且各阶谐波的频率均为基频ω0的整倍数，这是周期信号的频谱特征。

二、周期信号的强度特征

周期信号的强度常用峰值、绝对均值、有效值和平均功率来表示。

峰值xF是信号可能出现的最大瞬时幅值，即

xF＝|x（t）|max　（1-11）

对信号的峰值应有足够的估计，以便确定测试系统的量程范围，避免产生削波现象，以真实反映被测信号的最大值。

周期信号的均值为

它是信号的常值分量。周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值μ|x|，即

图1-4 正、余弦函数的频谱图

（a）正弦函数； （b）余弦函数

有效值是信号的均方根值xrms，即

有效值的平方（均方值）就是信号的平均功率Pav，即

应当注意，周期信号的均值、绝对均值、有效值和峰值之间的关系与波形有关。