如何推导流体的动量方程？

下面推导适用于控制体的流体运动动量定理的表达式。设流动为不可压缩流体的定常流动，在流场中任取一个区域（实线所围部分）为控制体，其边界构成控制面。实线所围部分的流体经过d t时间后，便形成图3-24中虚线所示形状，动量的增量应是虚线部分的动量与实线部分动量之差。实线将虚线区域分为Ⅱ区和Ⅲ区；虚线将实线区域分割成Ⅰ区和Ⅲ区，并把实线边界分割成A1和A2两部分。

图3-24　动量方程推导用图

由于Ⅲ区域为实线部分与虚线部分所共有，而且在定常流动中，Ⅲ区域内的动量在d t时间内没有变化，故经过d t时间后，流体动量的增量为Ⅱ区的动量与Ⅰ区的动量之差。

图3-25　水流冲击平板示意图

上式表明，对于定常不可压缩流动，作用在控制体内流体上的合力等于单位时间内通过控制面流出与流入流体的动量之差。一般采用分量形式来进行求解，取动量修正系数为1，其分量形式为

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注1：动量定理（3-34）应用条件如下：

（1）不可压缩流体的定常流动。

（2）所取控制体中，有动量流入和流出的控制面必须是均匀流或渐变流断面，控制体中的流动可以是急变流。

注2：用动量定理解题时，一般按以下步骤进行：

（1）选取控制体。常选壁面和渐变流断面作为控制面。

（2）受力分析。正确分析作用在控制面上的表面力和作用在控制体内流体上的质量力，如果所求作用力的方向未知，可先假定其方向，如求出为正值，则所设方向正确；如为负值，则方向与假设相反。

（3）选取坐标系，注意速度的投影。

（4）进行动量分析并列动量方程。

（5）注意与连续性方程和能量方程联合求解。