矩形薄板的横向振动特性分析

1.振动微分方程

为了建立应力、应变和位移之间的关系，现取一空间直角坐标系Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图3.6所示。则板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标x、y、z来确定。

图3.6　薄板横向弯曲振动模型

根据假定②，板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移w（x，y，t）所决定。

根据假定③，可认为处处为零。根据假定④，剪切应变分量为零。

不难看出，板上任意一点a（x，y，z）沿x，y，z三个方向的位移分量u，v，w分别为

根据弹性力学中应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要应变分量为

再根据胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为

薄板微元的受力图如图3.7所示。图3.7中Mx、Mxy和Qx、My、Myx和Qy分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。Mx、My是由正应力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。p（x，y，t）=P（x，y）f（t）为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力，则有

整理后，可得

另外，因为有

图3.7　薄板单元受力图

整理后，可得

又有

整理后，可得

将式（3.48）、式（3.49）代入式（3.47）得

因

将式（3.46）代入式（3.51），积分后得

再将式（3.52）代入式（3.50），即可得到薄板微元的运动微分方程为

这是一个四阶线性非齐次偏微分方程。

2.矩形板横向振动微分方程的解

矩形板的横向自由振动的微分方程为

此方程同样可应用分离法来求解，设解为

将式（3.55）代入式（3.54）可得

式（3.56）中

再根据板的边界条件来求解固有频率。对于一般边界条件来说精确解是难于找到的。为了寻求一个封闭解，需要先考察在什么条件下，式（3.56）可用分离变量法来求解。令

将上式代入式（3.56）中，可得

式（3.57）可改写为

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现讨论式（3.57a），首先要满足边界条件，设

根据式（3.58），有

则-α4=β4，故有

将上两式代入式（3.57a）中，可写为

即有

于是变量得到了分离，满足式（3.59）的三角函数为

类似地，可得出另一个平行的能使变量分离的条件为

现设x方向板的长度为a，y方向板的长度为b，且当x=0和x=a的边为简支，则满足此边界的条件，故式（3.61）可写为

令

代入式（3.54），有

即为

上式的解为

式中

再由y=0及y=b的边界条件，根据式（3.64）可求得Cim（i=1，2，3，4）的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。

3.四边简支矩形薄板的自由振动方程求解

下面讨论矩形薄板的边界情况。横向振动板的边界一般有固支边、简支边、自由边3种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：

①固定边：沿固定边的位移和转角为0，即

②简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即

③自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即

对于四边支承板有如图3.8所示的6种不同边界条件。

图3.8　矩形薄板的边界约束情况

下面讨论四边简支薄板的振动方程求解，其边界条件为

设

则满足边界条件。将上式代入方程（3.64），得

将上式两边乘以，并对整个面积进行积分，并考虑到，则得固有频率为

因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为

令m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率。例如，当m=n=1时，得到薄板的最低自然频率

式（3.69）即为四边简支矩形薄板横向振动时的一阶固有频率计算公式。