无阻尼系统的自由振动特性分析

与单自由度系统一样，研究多自由度系统振动的目的，主要是求系统的固有频率。对n个自由度系统，有n 个固有频率。研究多自由度系统自由振动的另一个目的是了解系统的主振型。下面将对此做详细分析。

如图3-12所示是一个两自由度无阻尼系统的力学模型。

图3-12

若x1、x2分别为两质量块m1和m2的位移，k1、k2、k3分别是连接弹簧，则由受力图对每一质量块应用牛顿第二定律，得系统的运动方程为

或

上述方程组可以用矩阵简洁地表示为

设系统每个质量块做同一频率的简谐振动且同时通过平衡位置，这样可令

式中：振幅A1、A2，频率ω 和相位角φ 为待定常数。

将式（3-64）代入式（3-62），有

于是式（3-65）可简写为

上述方程中A1、A2要有非零解，其充分必要条件为

展开后得

上式称为系统的频率方程或特征方程。显然，方程有两个特征根，即

由分析可知，和是两个正实根。它们反映系统本身的物理性质（质量和弹簧刚度），因此称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频率，简称基频；较高的一个称为第二阶固有频率。

分别将与代入式（3-66）。由于方程（3-66）的系数行列式为零，方程中的两式彼此不是独立的。因此，由式（3-66）不能求得振幅A1与A2的具体数值。但可将特征值与分别代入式（3-66）中任一式，分别求得对应于每一个固有频率的振幅比μ1 和μ2，即

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由式（3-69）可以看出，虽然振幅的大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，其振幅比却和固有频率一样只取决于系统本身的物理性质，同时，联系到式（3-65），不难看出两个质量任一瞬时的位移比值x2/x1也同样是确定的，并且等于振幅比。由于振幅比决定了整个系统的振动形态，因此称为主振型。与ω1对应的振幅比μ1 称为第一阶主振型，与ω2对应的振幅比μ2 称为第二阶主振型。将ω1与ω2之值代入式（3-69），得

上式说明，当系统以频率ω1振动时，质量块m1、m2总是按同一方向运动，而当系统以频率ω2振动时，则两质量块按相反的方向运动。

系统以某一阶固有频率按其相应的主振型做振动时，称为系统的主振动。第一阶主振动为

第二阶主振动为

可见系统的每一阶主振动，都是具有确定频率和振型的简谐振动。而系统在一般情况下的运动即微分方程组式（3-63）的通解是式（3-71）和式（3-72）两种主振动的叠加，即

因此，在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。

【例9】车辆振动在简单计算中可简化为一根刚性杆（车体）支承在弹簧（悬挂弹簧或轮胎）上，做上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的前后俯仰振动，如图3-13所示。设刚性杆质量为m，两端弹簧的刚度为k1与k2，杆质心C 与弹簧k1、k2的距离为l1与l2，杆绕过质心并垂直于纸面轴的转动惯量为JC。试求此系统的固有频率，并分析当k2l2＞k1l1时的主振型。

图3-13

解：以质心垂直位移x（向下为正）及杆绕质心的转角θ（顺时针方向为正）为两个独立坐标，x 的坐标原点取在静平衡位置，前后弹簧作用在杆上的弹性力如图3-13（b）所示。应用刚体平面运动微分方程得

移项整理得

记

得到微分方程组

所以系统的固有频率和主振型仍可用上述理论进行计算，系统的固有频率为

振幅比是角位移θ与垂直位移x的比值。当k2l2＞k1l2时，因b＞0，c＞0，由式（3-69）可知，即第一阶主振动时，x 与θ同时朝正向或同时朝负向运动；而第二阶主振动时，x 与θ是反向运动。在实际情况中，振幅比的绝对值，表明两种主振动如以相同的角位移θ作比较，第一阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，也就是第一阶主振动以上下垂直振动为主，其振型如图3-14（a）所示，第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振动如图3-14（b）所示。

图3-14