具有库仑摩擦阻尼的自由振动响应示意图

物体所受的摩擦力与运动方向相反。当物体向右运动时（X正方向），摩擦力向左，物体受到的合力为-kx-F；而当物体向左运动时，摩擦力向右，物体受到的合力为-kx+F。因此，由牛顿定理可得运动方程为

在此，引入一个等效变形量a=F/k，则式（1.50）变形为

令y=x±a，则进一步可得

这与方程式（1.1）形式相同，其通解为

y=C₁sinω_nt+C₂ cosω_nt

其中，C₁、C₂为两个由初始条件确定的常数。于是，可得物体的位移为

考虑把物体向右拉开x₀，然后释放的情况。释放的瞬间定为时间的起点。则在第一个半周期，式（1.51b）适用。由初始条件x（0）=x₀、，可求得两个

常数为

C₁=0，C₂=x₀-a

代入式（1.51b）可得位移为

这个结果在物体由右端一直到运动到最左端的半个周期（0＜t＜π/ω_n）上成立。在物体开始由左向右运动的后半个周期里（π/ω_n＜t＜2π/ω_n），式（1.51a）适用。由式（1.52a）可得，后半个周期开始时的边界条件为

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代入式（1.51a）可确定两个常数为

C₁=0，C₂=x₀-3a

因此，在后半个周期上，物体的位移为

由式（1.52a）可知，开始时（t=0）的位移为x（0）=x₀；而经过一周后（t=2π/ω_n），由式（1.52b）可知，位移为x（2π/ω_n）=x₀-4a。可见，振幅在一个周期里由x₀降到了x₀-4a。可以证明，这个规律也适合于此后的每个周期，即每经过一个周期，振幅减少4a。例如在第二个周期里，有以下关系

归纳起来，位移可以用下式表示（其中，n为半周期序列数）

由于式（1.53）右边第二项是个每半个周期改变符号的常数，相当于横轴每半个周期上移a或下移-a。此外应注意，式（1.53）代表由初始条件引起的自由振动响应，当振幅线性衰减至（-a，a）的范围时，摩擦力大于惯性力，振动将停止下来。因此，式（1.53）并不是对于任意大的n都成立。

我们已知，粘性阻尼系统的自由振动呈现指数衰减特性，每个周期上的振幅按等比级数的变化规律减少。而库仑摩擦阻尼系统的自由振动则呈现直线衰减特性，每个周期上的振幅按等差级数的变化规律减少，这是库仑摩擦阻尼系统的特点。用x_n代表第n个峰值的大小，则有

x_n-x_n+1=4a=4F/k

如图1.20所示为固有频率为2Hz、具有库仑摩擦阻尼的单自由度系统，在初始位移为1mm、a=0.02mm时的自由振动响应。

图1.20 具有库仑摩擦阻尼的单自由度系统的自由振动

上述振幅按等差级数减少的规律，也可以方便地从考查摩擦力所做的功而得到。在如图1.19所示的振动系统中，摩擦力总是与运动方向反向，因此总是做负功，消耗系统的振动能量。考虑第n个周期的情况（参照图1.20），开始时，位移为x_n，此时的系统振动能量为；经过一个周期后，振幅变为x_n+1，能量变为。在此过程中，摩擦力所做的功为W_F=Fx_n+Fx_m+Fx_m+Fx_n+1=2ka（x_n+x_n+1），其中，x_m=（x_n+x_n+1）/2。由于摩擦力做负功消耗系统的振动能量，所以有以下能量平衡关系W_n-W_n+1=W_F，即（x_n+x_n+1）。整理可得，x_n-x_n+1=4a=4F/k。