有限元分析方法详解

计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以及人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。

1.有限单元法的形成

近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，催生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程（Computer Aided Engineering，CAE）。这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在工业各个领域中的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。许多行业已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性：

①有效缩短新产品的开发研究周期。

②减少了实物样机的试验次数。

③大幅度地降低产品研发成本。

④在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。

⑤能够快速对设计变更做出反应。

⑥能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。

⑦能够精确预测出产品的性能。

⑧增加产品和工程的可靠性。

⑨在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。

⑩模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。

⑪进行机械事故分析，查找事故原因。

当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中，最为著名的是由美国国家航空航天局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。时至今日，世界各地的研究机构和大学也开发了一批专用或通用有限元分析软件。除了Nastran以外，主要还有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABAQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。虽然软件种类繁多，但是万变不离其宗，其核心求解方法都是有限单元法，简称为有限元法（Finite Element Method）。

在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构，这类问题称为离散系统。如图3.9所示的平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。这种简单的离散系统可以手工进行求解，而且可以得到其精确的理论解。而对于类似图3.10所示的这类复杂的离散系统，虽然理论上来说是可解的，但是由于计算工作量非常庞大，则需要借助计算机技术。

图3.9　平面桁架系统

图3.10　某车身有限元模型

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题、热传导问题、电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。这里以热传导问题为例做一个简单的说明。

下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件

初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的

通常的热边界有三种，第三类边界条件如下

尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确解。为了解决这一困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。

在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以追溯到20世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。

1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。

1956年，M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题中。他们把连续几何模型划分成一个个三角形和矩形的“单元”，并为所使用的单元指定近似位移函数，进而求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。

1960年，Clough在其著名的题为“The Finite Element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方法的标准称谓。

与此同时，数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法，这为有限元方法以后的发展奠定了数学和理论基础。

在1963年前后，经过J.F.Besseling，R.J.Melosh，R.E.Jones，R.H.Gallaher，T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，人们认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，从而发展了使用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现，对于所有的场问题，只要能将其转换为相应的变分形式，即可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是迦辽金（Galerkin）法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。

我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有陈伯屏（结构矩阵方法）、钱令希（余能原理）、钱伟长（广义变分原理）、胡海昌（广义变分原理）、冯康（有限单元法理论）。

2.有限元法的基本思路

有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。

下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。

等截面直杆在自重作用下的材料力学解答可以表示为：

受自重作用的等截面直杆如图3.11所示。杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布、杆的应变和应力。结果如下（计算过程请参考材料力学教材）：

图3.11　受自重作用的等截面直杆

图3.12　离散后的直杆

下面用有限元方法分析等截面直杆在自重作用下的应力和应变问题：

（1）连续系统离散化

如图3.12所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过公共点相连接。在有限元法中将两段之间的公共连接点称为节点，将每个有限段称为单元。节点和单元组成的离散模型称为对应于连续系统的“有限元模型”。

有限元模型中的第i个单元，其长度为Li，包含第i，i+1个节点。

（2）用单元节点位移表示单元内部位移

第i个单元中的位移用所包含的节点位移来表示

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式中，ui为第i节点的位移；xi为第i节点的坐标。第i个单元的应变为εi，应力为σi，内力为Ni

（3）把外载荷归集到节点上

把第i单元和第i+1单元重量的一半，归集到第i+1节点上，如图3.13所示。

图3.13　集中单元重量

（4）建立节点的力平衡方程

对于第i+1节点，由力的平衡方程可得

令，并将（3.90）代入得

根据约束条件，u1=0。对于第n+1个节点

建立所有节点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的节点位移。

3.有限元法的计算步骤

根据上述分析方法，可以将有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。

（1）网格划分

有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图3.14～图3.17所示。

（2）单元分析

对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

图3.14　四面体四节点单元

图3.15　六面体八节点单元

图3.16　三角形三节点单元

图3.17　四边形四节点单元

由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。

以平面问题的三角形三节点单元为例。如图3.18所示，单元有三个节点I、J、M，每个节点有两个位移u、v和两个节点力U、V。

单元的所有节点位移、节点力，可以表示为节点位移向量（Vector）：

单元的节点位移和节点力之间的关系用张量（Tensor）来表示

图3.18　三角形三节点单元

（3）整体分析

对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与节点位移的关系，以解出节点位移，这个过程称为整体分析。同样以弹性力学的平面问题为例，如图3.19所示，在边界节点i上受到集中力作用。节点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一节点上的节点力汇集在一起建立平衡方程。

i节点的节点力

i节点的平衡方程

图3.19　整体分析

4.有限元法的进展与应用

有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从20世纪60年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。当今国际上有限元方法和软件发展趋势呈现出以下特征：

①从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题。有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。所以，近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如比较常见的是在温度场和结构场之间进行耦合计算，确定由温度场分布不均匀引起的结构应力和变形等。

②由求解线性工程问题进展到分析非线性问题。随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题；航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，仅靠线性计算理论不足以解决遇到的问题，只有采用非线性有限元算法才能解决。众所周知，非线性的数值计算是很复杂的，它涉及很多专门的数学知识和运算技巧，很难被一般工程技术人员所掌握。为此，近年来国外一些公司花费了大量的人力和财力开发求解非线性问题的分析功能，并广泛应用于工程实践。

③增强可视化的前后处理功能。早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而准备数值模型和处理计算结果的时间占整个分析工程的比例越来越高。据统计，整个分析流程中，前处理占用的工作时间大致在80%，再加上后处理部分，占用的时间就要超过95%。因此，目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前后处理模块与之相配合。在强调“可视化”的今天，很多程序都建立了对用户非常友好的GUI（Graphics User Interface），使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。

④与CAD软件的无缝集成。当今有限元分析系统可与通用CAD软件集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算。如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。现在，工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。所以，目前所有的商业化有限元软件商都开发了与著名的CAD软件（例如Unigraphics、Pro/ENGINEER、SolidEdge、SolidWorks等）接口。

下面将举例介绍几种典型谐振子结构的有限元分析方法。