滑膜气体阻尼的分析

1.滑膜阻尼的控制方程

如图5.39（a）所示，各平板之间间距为d，平行板面积为A，板间为不可压缩黏性流体，下板固定，上板沿x方向以速度v相对于下平板运动。由于气体的黏性，运动极板间气体流动，这时运动极板受到的空气阻尼称为滑膜阻尼。根据运动速度（频率）不同，滑膜阻尼分为两种模型，即Couette流模型和Stokes流模型。将滑膜阻尼简化为图5.40所示的机械振动系统。

对于不可压缩流体的稳态流动，可以用N-S方程描述为

式中，μ为流体黏性系数；

ρ为流体密度；

p为流体压力；

F为外载荷；

v为流体速度，且v=ui+vj+wk；

符号∇和∇2分别表示梯度和拉普拉斯算子。

如果上述模型满足以下假设：板间气体流动为连续流动，运动极板的谐振振幅较小，板的长度和宽度远大于极板间距，极板尺寸和极板间距都大于10倍气体平均自由程，板的运动速度不高。则式（5.18）的N-S方程可以简化为一维扩散方程，即

式中，u为流体速度分布；

ν=μ/ρ为运动黏度。

图5.40　滑膜阻尼模型

2.Couette流模型

对于Couette流模型，根据边界无滑移条件u（0）=u0 cos（ωt），u（d）=0和牛顿流体定律，可求得运动极板受到的阻尼力为

同时，可以计算阻尼系数为

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式中，A为极板面积。

当板间气体流动存在滑移效应时，采用有效黏性系数代替黏性系数，即

根据Couette流模型，极板上表面的速度梯度为零，因此，极板上表面无阻尼力作用，横向振动的品质因子Q仅由式（5.20）中的阻尼力决定。

由阻尼力引起的能量损耗为，同时由于u（0）=u0 cos（ωt），可得能量损耗为。由此可得到品质因子为

如果极板的质量密度为ρp，极板的厚度为H，则式（5.23）可以表示为

3.Stokes流模型

当平板振动频率较高时，由于黏性而引起周围流体运动形成紊流场，则此时为Stokes流阻尼模型。根据边界无滑移条件u（0）=u0 cos（ωt），u（d）=0，可得到流场速度分布为

因而，极板所受阻尼力为

阻尼力作用下振动系统每周期中的能量损耗为

那么，品质因子为

当d＞＞δ时，能量损耗为，品质因子为和式（5.23）相比，采用相似理论可得Stokes流阻尼力为

那么，可求得Stokes模型下阻尼系数为