分形分析：描述自然现象的几何学

（一）分形理论

1973年Mandelbrot首次提出了分维和分形几何的设想。分形（fractal）一词，其原意具有不规则、支离破碎等意义。分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。分形作为一种数学工具，现在已经被应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。

分形是具有以非整数维形式填充空间的形态特征，是指具有一定内在规律的、不规则的、支离破碎的极端复杂的几何图形。分形最重要的特征是它具有无穷层次的自相似性，即分形的任一局部区域放大之后仍具有分形整体上相似的复杂性和不规则性，具有无限精细的结构、比例自相似等特点。

在欧几里得几何中，直线或曲线是一维的，平面或球面是二维的，而具有长、宽、高的形体是三维的，也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念，因此Mandelbrot提出用分形来描述不能由欧氏几何描述的复杂结构。他认为分形这类奇异集合的性质不能用欧氏测度来描述，而维数恰是这类集合尺度变化下的不变量，并主张用维数来描述这类集合，于是提出了分形维数的概念。

分形理论是非线性科学的一个重要分支，研究的是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。它直接从非线性复杂系统自身入手，从未简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，可以将以前不能定量描述或难以定量描述的复杂对象用一种较为便捷的定量方法表述出来，在许多领域中都得到了广泛应用。

分形理论为纹理特征的提取注入了新的活力。1984年，Pentland在这方面做了开创性的工作，指出分形模型非常适用于描述纹理图像。后来更多学者将分形模型用于纹理分类，以分数维来描述图像区域的纹理特征。分形维数反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度，因此可以通过计算分形维数来了解图像的复杂度。

（二）计算分形维数

分形分析是描述图像纹理的常用工具，它是通过分形维数来进行描述的。分形维数是复杂形体不规则性的量度，因此可以用来描述图像的复杂度和斑块的差异性。对分形维数的计算是利用分形分析来描述纹理的主要问题，目前主要有以下两种方法。

1.差分计盒法（Differential Box Counting，DBC）

计盒维数是一种被广泛应用的分形维数，在分形理论应用研究中提出的许多维数的概念都是计盒维数的变形。由于计盒维数是由相同形状集的覆盖确定的，易于进行程序化计算，因此得到了广泛关注。(https://www.xing528.com)

差分计盒法是一种简单、快速、精度高的分形维数计算方法，也是目前用得较多的一种方法。其实质是“数盒子”算法，即通过划分图像形成网格，统计出网格中包含的盒子数。它的主要思想是将分形结构的每一部分放置在N个大小不同的方格中（边长为r），则r和N存在以下相关性

式中

是自相似维数，可以是整数，也可以是分数。当改变方格边长r时，对应的不同尺寸的盒子也就得到相应的分形维数。因此可得到

即N是一个关于r的自变量函数，可通过计算曲线N～r的斜率得到分形维数。

2.源于布朗运动的分形维数

随机布朗运动（RBM）是一个独立增量平稳过程B（t），Mandelbrot将其推广并定义了分数布朗运动（FBM）BH（t），它具有统计自相似性：

式中，ΔBH（t，hs）=BH（t+hs）-BH（t），ΔBH（t，s）=BH（t+s）-BH（t），“≈”表示两者的概率分布相同。在应用分形布朗运动模型计算分形数据对象的分形维数时的关键是估计模型的非规则维参数即H参数，该参数的准确估计关系到FBM模型对应用对象的适用性。

下面介绍分形布朗运动中H参数的求解方法：分形维数可以被看作是在不同尺度上点对p1=（x1，y1）和p2=（x2，y2）的绝对亮度差，即I（p1）-I（p2）。分形布朗表面满足以下关系：