铁电畴变模型的分析与优化

在铁电畴变模型中，铁电非线性考虑为铁电畴的翻转。全局笛卡尔坐标系(x1，x2，x3)固定在铁电陶瓷上。局部笛卡尔坐标系(x′1，x′2，x′3)固定在铁电单晶上，其中x′3方向沿着铁电单晶的初始极化轴以及(x′1，x′2)沿着其他光学轴，如图2.1所示。由于六面体晶体的正交性，每个铁电单晶含有6种可能的取向。状态1至状态4代表了4种90°畴变，状态5代表了180°畴变。由于180°畴变可以被分成为两个90°畴变，仅有90°畴变需要被考虑[15，40]。铁电单晶中90°畴变所带来的应变与极化可以在局部坐标系中描述如下。

图2.1　四方相铁电单晶90°和180°畴变示意图。

其中，εsp代表90°畴变的自发应变，Ps代表对应的自发极化强度。畴变产生的应变和极化强度在全局坐标系下分别为

这里采用了爱因斯坦求和约定规则。上标“α”代表了不同的畴变状态。Mij是全局坐标系和局部坐标系的坐标转换张量

其中，(θ，ϕ)代表了全局坐标系中的初始极化方向，ψ代表了关于极化轴的旋转角。它们的范围分别为0≤θ≤π，0≤ϕ≤2π，0≤ψ≤2π，如图2.2所示。

4种90°畴变过程中所做的功可以写为

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实际的畴变过程应该沿着释放最大能量的路径，由此获得了铁电单晶中实际的畴变功

其中，符号代表绝对值。Δεij和ΔPi是铁电单晶中实际的畴变应变和畴变极化强度。当电场为0时，可以退化至铁弹畴变的情况。

在铁电体中，仅有一部分铁电晶体发生了畴变过程。铁电体中实际的畴变应变可以写为

图2.2　全局坐标系和局部坐标系的转换关系

其中V90表示发生90°畴变铁电体的体积分数。Yang等[67]研究了一个铁电晶粒夹杂于均匀的基质中来研究V90的取值。根据这一工作，Cui和Yang[68]以及Cui和Zhong[154]建立了铁电体力电载荷下基于能量的非均匀畴变准则，已经被成功运用到预测均匀铁电体[155，156]和双材料铁电体[157]的畴变过程

其中，和分别代表触发畴变和畴变达到饱和时的畴变功。和分别为对应的畴变体积分数，为比例系数。WDS是实际的畴变功，包括由应力载荷导致的铁弹部分和由电场载荷导致的铁电部分。在畴变区域内假设没有卸载[156]。畴结构应变和电荷的协调性已经在建立畴变准则的过程中得到保证[67，154]。