自测自评试题参考答案解析

一、填空题

1.10^-3Sa（10^-3πf）；1000Hz；1000Hz。2.。3.A²τ²Sa2（πfτ）；A²τ。4.a_X+a_Y；σ²_X+σ²_Y。5.0；P_X（f）H（f）²。6.高斯（正态）；；2×10^-12δ（τ）。7.时间。8.；0.5。9.Ks^*（t₀-t）；；KR_s（t-t₀）；。

二、选择题

1.C；2.C；3.C；4.A；5.A；6.D；7.B；8.C；9.A；10.A。

三、简答题

1.矩形脉冲信号的频谱表达式为X（f）=AτSa（πfτ），第一个零点位置f=1/τ。升余弦脉冲的频谱表达式为，第一个零点位置为2/τ。可见，用第一个零点来定义带宽时，矩形脉冲信号的带宽为1/τ，而升余弦脉冲的带宽为2/τ，故在传输过程中升余弦脉冲会占用更宽的信道。

2.加性白高斯噪声的英文缩写为AWGN（Additive White Gaussian Noise）。“加性”表示噪声是以相加的形式叠加在信号上；“白”的含义是噪声的功率谱密度在很大范围内为常数；“高斯”的含义是噪声的瞬时值服从高斯分布。

3.（1）若随机过程的任意n维概率密度函数与时间起点无关，则称它为狭义平稳随机过程。

（2）若随机过程的均值和方差为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关，即E[X（t）]=a，D[X（t）]=σ²，E[X（t）X（t+τ）]=R_X（τ），则称它为广义平稳随机过程。狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。

4.（1）平稳随机过程自相关函数的定义为R（τ）=E[X（t）X（t+τ）]。

（2）从自相关函数可得到随机过程的多个数字特征：①R（0）是随机过程的平均功率。②R（±∞）是随机过程的直流功率，直流功率的平方根为均值。③R（0）-R（±∞）是随机过程的交流功率，即随机过程的方差。

四、综合题

1.（1）能量信号的能量谱与其自相关函数是一对傅里叶变换。因此，可首先求得x（t）的能量谱G（f）=X（f）²=A²τ₀²Sa²（πfτ₀），由常用函数傅里叶变换表可查得其傅里叶反变换为三角脉冲，做简单对比得矩形信号的自相关函数为

如图2-32所示。

（2）R（τ-τ₀）的图形是R（τ）向右移τ₀，如图2-33所示。

图 2-32

图 2-33

（3）R（0）=A²τ₀，其值等于能量信号的总能量。(https://www.xing528.com)

其中。

可见，X（t）的均值为零（常数），自相关函数与t无关，只与时间间隔τ有关，故为平稳随机过程。

3.（1）根据自相关函数的定义，得

（2）对R_Y（τ）求傅里叶反变换得Y（t）的功率谱密度为

4.（1）白噪声通过理想低通滤波器后，输出噪声的功率谱为

则其自相关函数为 R_Y（τ）=F^-1[P_Y（f）]=n₀BSa（2πBτ）

（2）输出噪声上相隔τ=1/B的两个随机变量的协方差为（输出噪声均值为0）

C（τ=1/B）=R（τ=1/B）=n₀BSa（2πB/B）=0

τ=1/B是自相关函数R_Y（τ）的第二个零点。可见，Y（t）和Y（t+τ）是不相关的。由于输入噪声是高斯的，因此输出也是高斯的，故Y（t）和Y（t+τ）也是独立的，它们的联合概率密度函数为

其中，，代入上式得

（3）由于cos2πf₀t和sin2πf₀t都是确定值，因此Z（t）=Y（t）cos2πf₀t-Y（t+τ）sin2πf₀t是两个高斯随机变量Y（t）和Y（t+τ）的线性组合，故也是高斯随机变量，其均值和方差分别为

由此可得其一维概率密度函数为

（4）当τ=2/B和τ=1/（2B）时，上述（2）、（3）两项结果仍然成立。因为C（τ=2/B）=R（τ=2/B）=0和C（τ=1/（2B））=R（τ=1/（2B））=0，即相隔τ=2/B和τ=1/（2B）的两个随机变量仍然都是独立的。事实上，τ=1/（2B）和τ=2/B分别是自相关函数的第一个、第四个零点。