阻尼固有频率实验原理及其影响因素分析

（1）单自由度系统

单自由度系统是最基本的振动系统，是指在任意时刻只要一个广义坐标即可完全确定其位置的系统。虽然实际结构大多为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性，因此，常作为振动分析的基础。从单自由度系统的分析出发研究系统的响应，能避免繁杂的数学处理，更便于深刻理解振动系统的基本特性。对线性的多自由度系统常可看成许多单自由度系统特性的线性叠加。

（2）机械振动的三要素

振动量的幅值、频率和相位是振动的3 个基本参数，称为振动三要素。

1）幅值

幅值是振动强度的标志，它可用峰值、有效值和平均值等指标来表示。

2）频率

不同的频率成分反映系统内不同的振源。通过频谱分析，可确定主要频率成分及其幅值大小，进而寻找振源，采取相应的措施。

3）相位

振动信号的相位信息十分重要，如利用相位关系确定共振点、测量振型、旋转件动平衡、有源振动控制、降噪等。对复杂振动的波形分析，各谐波的相位关系更是不可缺少的。

（3）系统固有频率的测定

固有频率是振动系统的一项重要参数。它取决于振动系统结构本身的质量、刚度及其分布，是结构本身固有特性之一。确定系统的固有频率ω0 的方法很多，通常采用的方法有自由衰减法和强迫振动法。

1）自由衰减法

自由衰减振动法是用敲击的方法给系统一个初始扰动，使系统产生自由衰减振动，记录振动衰减波形，通过该波形点的坐标数据即可求得系统固有频率ω0。

单自由度振动系统力学模型如图8.13所示。

用敲击法给系统（质量m）一个初始扰动（一般为速度），系统作自由衰减振动。运动控制微分方程为

式中　ω0——系统的固有频率，ω0 = k/m；

n——衰减系数，n=ω0ξ=c/（2 m）；

式中　ω0——系统的固有频率，ω0 = k/m；

n——衰减系数，n=ω0ξ=c/（2 m）；

ξ——阻尼比，

ξ——阻尼比，

图8.13　单自由度振动系统力学模型

当ξ ＜1（欠阻尼）时，式（8.11）的解为

图8.13　单自由度振动系统力学模型

当ξ ＜1（欠阻尼）时，式（8.11）的解为

式中　A——振动振幅；

φ——初相位；

式中　A——振动振幅；

φ——初相位；

ωd——有阻尼衰减振动圆频率，。

ωd——有阻尼衰减振动圆频率，。

设初始条件：t=0 时，初始位移为x0，初始速度为，则振动振幅A 和初相位φ 为

设初始条件：t=0 时，初始位移为x0，初始速度为，则振动振幅A 和初相位φ 为

由式（8.12）可得到自由衰减振动波形，如图8.14所示。

此波形有以下特点：

①有阻尼自由振动周期Td 大于无自由振动周期T0，即Td ＞T0，则

由式（8.12）可得到自由衰减振动波形，如图8.14所示。

此波形有以下特点：

①有阻尼自由振动周期Td 大于无自由振动周期T0，即Td ＞T0，则

固有频率为

固有频率为

图8.14　自由衰减振动波形

可知，由自由衰减法测出的系统固有频率略小于实际的固有频率。当阻尼很小时，两者很接近。

②振幅按几何级数衰减

减幅系数

图8.14　自由衰减振动波形

可知，由自由衰减法测出的系统固有频率略小于实际的固有频率。当阻尼很小时，两者很接近。

②振幅按几何级数衰减

减幅系数

对数减幅

对数减幅

2）强迫振动法

利用激振器对被测系统施加简谐激励力，使系统产生强迫振动，然后连续改变激振频率，进行连续的激振扫描。当激振力的频率与系统的固有频率接近时，系统会产生共振。因此，只要逐渐调节激振频率，同时测定系统的振动幅值，绘出振动幅值和频率的关系曲线（即幅频特性曲线），曲线上各峰值点所对应的频率，就是系统的各阶固有频率。

单自由度系统在简谐激励力的作用下，系统作简谐强迫振动。设激励力F 的幅值为F0，固有频率为ω0，系统的运动微分方程为

2）强迫振动法

利用激振器对被测系统施加简谐激励力，使系统产生强迫振动，然后连续改变激振频率，进行连续的激振扫描。当激振力的频率与系统的固有频率接近时，系统会产生共振。因此，只要逐渐调节激振频率，同时测定系统的振动幅值，绘出振动幅值和频率的关系曲线（即幅频特性曲线），曲线上各峰值点所对应的频率，就是系统的各阶固有频率。

单自由度系统在简谐激励力的作用下，系统作简谐强迫振动。设激励力F 的幅值为F0，固有频率为ω0，系统的运动微分方程为(https://www.xing528.com)

式（8.19）的特解为

式（8.19）的特解为

式中　B——强迫振动振幅；

φ——初相位。

强迫振动振幅为

式中　B——强迫振动振幅；

φ——初相位。

强迫振动振幅为

式中　λ——频率比，λ=ω/ω0。

式（8.21）为系统的幅频特性，将式（8.21）所表示的位移振动幅值与激振频率的关系用图形表示，称为幅频特性曲线，如图8.15所示。

式中　λ——频率比，λ=ω/ω0。

式（8.21）为系统的幅频特性，将式（8.21）所表示的位移振动幅值与激振频率的关系用图形表示，称为幅频特性曲线，如图8.15所示。

图8.15　幅频特性曲线

振幅最大时的频率，称为共振频率ωn。有阻尼时的位移共振频率为

图8.15　幅频特性曲线

振幅最大时的频率，称为共振频率ωn。有阻尼时的位移共振频率为

机械系统的阻尼比ξ 往往比较小，故一般可认为ω0 =ωn。

需要注意的是，固有频率是由系统本身的结构参数所决定的，而共振频率是指振动系统产生共振时，外来强迫信号的频率，而且由于测量的振动参数不同，存在着位移共振、速度共振和加速度共振3 种情况。根据以共振频率激振时振动幅值最大的原理，可分别求得位移共振频率、速度共振频率和加速度共振频率，它们与系统固有频率ω0 之间的关系见表8.4。

表8.4　各种共振频率与固有频率之间的关系

机械系统的阻尼比ξ 往往比较小，故一般可认为ω0 =ωn。

需要注意的是，固有频率是由系统本身的结构参数所决定的，而共振频率是指振动系统产生共振时，外来强迫信号的频率，而且由于测量的振动参数不同，存在着位移共振、速度共振和加速度共振3 种情况。根据以共振频率激振时振动幅值最大的原理，可分别求得位移共振频率、速度共振频率和加速度共振频率，它们与系统固有频率ω0 之间的关系见表8.4。

表8.4　各种共振频率与固有频率之间的关系

由表8.4 可知，在有阻尼情况下，只有速度共振频率才是系统的无阻尼固有频率，因此在测量中，用速度幅值。

（4）阻尼比的测定

阻尼比在工程上用ξ 表示，即

由表8.4 可知，在有阻尼情况下，只有速度共振频率才是系统的无阻尼固有频率，因此在测量中，用速度幅值。

（4）阻尼比的测定

阻尼比在工程上用ξ 表示，即

1）自由衰减法

利用自由衰减振动法测出系统的自由衰减振动曲线（见图8.14），即测出振动幅值（位移、速度、加速度）随时间t 而变化的曲线，然后在曲线上，量出相邻的振幅An，An+1，代入式（8.18）和式（8.19），即可求出减幅系数和对数减幅。

为了减少读数误差，常用相隔i 个周期的两振幅之比来计算η，则

1）自由衰减法

利用自由衰减振动法测出系统的自由衰减振动曲线（见图8.14），即测出振动幅值（位移、速度、加速度）随时间t 而变化的曲线，然后在曲线上，量出相邻的振幅An，An+1，代入式（8.18）和式（8.19），即可求出减幅系数和对数减幅。

为了减少读数误差，常用相隔i 个周期的两振幅之比来计算η，则

从而可得n=δ/Td，c=2nm，进而得到

从而可得n=δ/Td，c=2nm，进而得到

2）带宽法（0.707 法）

在简谐激励力作用下，系统发生强迫振动。在共振峰附近，改变激励频率，记录相应的振动幅值，作幅频特性曲线（见图8.15），可求出阻尼比为

2）带宽法（0.707 法）

在简谐激励力作用下，系统发生强迫振动。在共振峰附近，改变激励频率，记录相应的振动幅值，作幅频特性曲线（见图8.15），可求出阻尼比为

式中　f0——共振频率，设共振时最大振幅为Amax；

f1，f2——幅值为0.707 Amax时的频率。

带宽法适用于小阻尼情况，既可用于低阶，也可用于高阶下阻尼的测定，但两个频率值需相差较大，彼此比较孤立，否则误差很大，甚至失效。

3）放大系数法

在简谐激励力F=F0sin ωt 作用下，有阻尼单自由度系统的放大系数β 为

式中　f0——共振频率，设共振时最大振幅为Amax；

f1，f2——幅值为0.707 Amax时的频率。

带宽法适用于小阻尼情况，既可用于低阶，也可用于高阶下阻尼的测定，但两个频率值需相差较大，彼此比较孤立，否则误差很大，甚至失效。

3）放大系数法

在简谐激励力F=F0sin ωt 作用下，有阻尼单自由度系统的放大系数β 为

共振时，λ=1，由式（8.25）可知，β=1/2ξ，即ξ=1/2β。

因为放大系数是指激振力作用时的振幅与静力作用时最大位移的比值，所以要测出共振时的振幅Amax和静变形As，从而求出动力放大系数β，进而求出阻尼比为

共振时，λ=1，由式（8.25）可知，β=1/2ξ，即ξ=1/2β。

因为放大系数是指激振力作用时的振幅与静力作用时最大位移的比值，所以要测出共振时的振幅Amax和静变形As，从而求出动力放大系数β，进而求出阻尼比为

本实验采用自由衰减法和带宽法测量阻尼比。

本实验采用自由衰减法和带宽法测量阻尼比。