应力状态分析：利用张量表示法

当物体受外力作用时，物体内任意两相邻部分之间会产生内力。为准确定量地描述内力，需要指明内力的作用面。如图A-1所示，某一处于平衡状态的物体，假想沿任一平面将其截开，研究其中的一部分。在该平面上作用有内力F，则单位面积上的内力为

利用一点处应力状态的六个应力分量，可以求出通过该点的任一平面上的应力。图A-3所示的斜面BCD上的面力pv沿三个坐标轴的分量分别用Xv、Yv、Zv表示。面积元BCD的法线方向的方向余弦分别为l、m、n。由静力平衡条件不难得到以下关系式：

图A-1　内力

p称为应力矢量。将此应力矢量分解为垂直于作用面和平行于作用面的分量，有

σ称为正应力，τ称为切应力。

为了研究某点处的应力状态，在该点处取一个微小的平行六面体（见图A-2），每一个面上的应力可用图中的三个应力分量表示。在直角坐标系下，考虑一微小面积元，其正法线与x轴正向重合，作用于该面积元上的应力矢量在x、y、z方向上的分量分别记为σx、τxy、τxz。将作用在其他面上的应力矢量按类似的方法分解，得到σy、τyx、τyz，以及σz、τzx、τzy。当平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表该点处的应力。

图A-2　物体内一点的应力表示(www.xing528.com)

由此可见，变形物体中任一点的应力可以用该点的九个应力分量来表示。此外，由力矩守恒可以证明τij=τji，所以上述应力分量中只有独立的六个应力分量。用张量表示为

利用一点处应力状态的六个应力分量，可以求出通过该点的任一平面上的应力。图A-3所示的斜面BCD上的面力pv沿三个坐标轴的分量分别用Xv、Yv、Zv表示。面积元BCD的法线方向的方向余弦分别为l、m、n。由静力平衡条件不难得到以下关系式：

图A-3　任意平面上的应力

这样，就用描述一点处应力状态的六个应力分量求出了通过该点的任一平面的应力。

图A-3　任意平面上的应力

这样，就用描述一点处应力状态的六个应力分量求出了通过该点的任一平面的应力。