圆球在静止流体中的重力沉降优化方案

当一个圆球在静止流体中沉降达到极限速度时，作用在圆球上的重力与流体施加的阻力达到平衡，可以用下式来表示

式中：D为泥沙颗粒的直径；ω为球体的沉速；CD为圆球绕流的阻力系数。等号左边部分表示球状颗粒的水下重量，等号右边部分表示球状颗粒以速度ω作匀速运动时所受的阻力（drag）。

式（1-30）采用了流体力学中圆球绕流阻力的通用表达式，应注意在颗粒Reynolds数较高和较低的情况下阻力系数CD的表达式有很大差异，必须针对不同情况采用相应的量值。如果已知阻力系数CD和泥沙及流体的物理参数，则可从式（1-30）解得沉速ω，因此式（1-30）把沉速问题归结为求解圆球在恒定的绕流流动中阻力系数的问题。

（1）圆球绕流阻力系数的理论解。对颗粒雷诺数较小（Re≤0.4）的情况，圆球周围的流动处于层流状态。G.G.Stokes在1851年发表的研究结果中，忽略了N-S方程中的惯性力项，用流函数法求得直径为D的圆球在无限水体中的绕流阻力Fd为

代入圆球绕流阻力的通用表达式，有

可知颗粒雷诺数较小（Re≤0.4）的情况下Stokes给出的圆球绕流阻力系数是式中：Re=ωD/ν为颗粒雷诺数。式（1-32）只在Re＜0.1时与实验资料符合，这与Stokes解的前提条件（圆球运动十分缓慢）是一致的。

在考虑惯性力影响的情况下，Oseen于1927年求得了绕流系数的近似解为

Goldstein在1929年对Oseen的方法给出了更完整的近似解为

至此，理论解析解（analytic solution）的应用范围可达到Re=2，到目前为止尚无更好的结果。

（2）圆球绕流阻力系数的试验结果。在颗粒Reynolds数较大的情况下，圆球周围的流动逐渐发展为紊流，惯性力起着不可忽略的重要作用。此时难以求得理论解析解。在这种情况下必须由实验确定阻力系数CD与颗粒Reynolds数Re的关系，如图1-14所示。可见，在双对数坐标下，当Re＞1之后CD与Re的关系就不再是线性关系，而是逐渐地过渡到与Re无关的情况，即CD成为一个常数。这样从式（1-30）可知球体的恒定绕流阻力与流速的平方成正比（所以图1-14上的这一区域又称“阻力平方区”）。这是由于此时圆球周围的流动已经成为充分发展的紊流，阻力几乎完全由形状阻力组成，而粘性阻力可以忽略不计。在Re＞2×105之后CD的值急剧下降是由于绕流分离点后移引起的。

由实验数据拟合可得经验公式如下

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图1-14　球体的恒定绕流阻力系数实验结果

（3）层流和充分发展紊流两种情况下的圆球沉速计算式。对于Re＜0.1的层流情况，绕流阻力系数CD值可以用Stokes公式（1-32）计算。对于Re＞103的充分发展紊流，可以从实验所得的CD～Re关系图上查得绕流阻力系数CD值为一常数0.45。把式（1-32）和常数值0.45分别代入式（1-30）后，可解得

（4）过渡区的圆球沉速计算式。对于过渡区的绕流阻力情况，还难以从N-S方程出发给出解析解。从试验结果看，圆球绕流阻力系数在过渡区从与Re的线性关系（粘滞阻力为主）逐步变为与Re无关的常数（形状阻力为主），据此Rubey（1933）和武汉水利电力学院各自提出了一种半经验处理方法，假定在过渡区内阻力的表达式可写为粘滞阻力和形状阻力的叠加，在极限沉速情况下，重力与阻力平衡得

式中：k1和k2是过渡区系数（在物理意义和量值上完全不同于圆球的阻力系数CD）。式（1-37）是关于ω的一元二次方程，求解之并略去不合物理意义的解，可得ω的表达式为

对天然沙来说，k1和k2可分别取为2和3（Rubey公式），或1.22和4.27（武水公式）。

（5）窦国仁的过渡区颗粒绕流阻力公式。窦国仁具体地计算了球体绕流分离区形状与粘滞阻力和形状阻力的关系见图1-15，最后得到了过渡区两种阻力同时存在时的绕流阻力表达式为（其中CD1为窦国仁的过渡区系数）

图1-15　球体绕流分离区

可见在窦国仁的推导中，过渡区系数k1、k2不再是常数，而是随分离角θ而变，分离角θ又随颗粒雷诺数Re*（颗粒绕流的紊动程度）而变，因而是比较合理的。

在极限沉速下，令F等于颗粒水下重力，可解得

窦国仁的系数CD1=0.43。由式（1-39），解得窦国仁过渡区圆球颗粒绕流阻力系数CD的计算公式为

当2θ=0时，sinθ=0而cosθ=1，即直接采用Oseen解。当2θ＞π时，仍取sinθ=1，此时有—1＜cosθ＜0，代入式（1-41）即表示此时的阻力系数中Stokes阻力成分减小。大Re数时（Re＞850），式（1-40）成为紊流区公式CD=0.43。

窦国仁方法计算沉速用于天然沙（非圆球状）比较困难，但由于其物理意义简单明确，作为对过渡区阻力物理实质的探讨仍是很有意义的。