进制转换：十进制与二进制的互换

二进制数学是德国著名数学家莱布尼兹最早提出的，1679年莱布尼兹发表了论文《二进制算术》。因为二进制数易于电路实现且运算规则简单，例如电平的高低，开关元件的通断，电容器是否带电、人的性别等都可以用数字1和0表示，所以二进制数成为现代数字系统信息表示的基础。

1.二进制与十六进制的定义

1）二进制数的定义

N=kn2n+kn－12n－1+…+k121+k020+k－12－1+…+k－m2－m，ki∈{0，1}。请读者熟悉以下这些二进制数。

① 20，21，…，210，211，212，213这些十进制数是1，2，…，1024，2048，4096，8192；

② 2n=100…0B，其中1后面有n个0，数据之后用B表示二进制数；

③ 2n－1=11…1B，其中有n个1；

④ 2－n=0.00…01B，其中小数点之后有n－1个0；

⑤ 1－2－n=0.11…1B，其中小数点之后有n个1。

2）十六进制数的定义

N=kn16n+kn－116n-1+…+k1161+k0160+k－116－1+…+k－m16－m，ki∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F}。数据之后用H表示十六进制数。

例如：AC7H=1010 1100 0111B=10×162+12×16+7=2759

2.十进制与二进制的互换

1）2的整幂加减拼凑法

若一个十进制数接近2n，采用2的整幂加减拼凑法转换为二进制数简明快捷。后面介绍的“除权取商法”和“减权取1法”也可结合使用。例如：将十进制数135视为128（27）加7，则其结果为1后面有7个0的二进制数再加上111B，所以135=10000111B。将十进制数2034视为2047（211－1）减13，则其结果为有11个1的二进制数再减去1101B，所以2034=11111110010B。

2）除权取商法

用十六进制数第n位的权重16n去除十进制数，其商为十六进制数第n位上的数字；将其余数再用16n－1去除，所得商为十六进制数第n－1位上的数字；……；重复这样的运算步骤，直到容易看出某一步余数的二进制数为止。最后将每一次的商和最后一步的余数按权重拼成一个二进制数。

【例1.1.1】将十进制数78，915，3137分别化为二进制数。

解：① 因为78除以16商4余14，所以78=1001110B。

② 915÷162=3……147 → 11B……147，前者为商，后者为余数，以下同。

147÷16=9……3 → 1001B……0011B

所以915=1110010011B。

③ 3137÷162=12……65 → 1100B……1000001B，余数65的二进制数用口算得到。(www.xing528.com)

所以3137=110001000001B，注意二进制数1000001B前必须添一个0，使其达到8位，因为前段4位数字1100的权重为162（即28）。

3）减权取1法

对于较大的十进制数化为二进制数可采用“减权取1法”。该方法是：用十进制数减去小于该数的最大的2i，将其差再减去小于此差数的最大的2j，…，重复这样的运算步骤，直到容易看出某一步差数的二进制数为止。最后将2i、2j、…，以及最后这一步差数的二进制数按权重拼成一个二进制数。

【例1.1.2】将十进制数3145，10000化为二进制数。

4）二进制化为十进制——四位分段法

从二进制整数的最低位起，将二进制数视为十六进制数，即每4位分为一段，然后按十六进制数的权重展开求和。

【例1.1.3】将下列二进制数化为十进制数。

解：11010110B=13×16+6=214

110101.10111B=11010110111B/25=(6×162+11×16+7)/32=1719/32=53.71875

3.二进制应用举例

1）两个古典数学问题

（1）相传古代印度国王舍汗要褒奖国际象棋发明者达依尔，问他需要什么。达依尔回答说：“国王只要在国际象棋棋盘（8×8格）的第一格上放1粒小麦，第二格上放2粒小麦，第三格上放4粒小麦，第四格上放8粒小麦，按此规律一直放满整个棋盘，我心足矣。”国王居然答应了。

根据二进制数的定义，将棋盘上的小麦数用二进制数表示应为64个1，那么小麦总数为264－1粒。1 g小麦不足25粒，1 t小麦不足225粒。国王舍汗需要支付的小麦超过264/225=239吨，这是一个惊人的天文数字啊！

（2）《庄子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

根据二进制数的定义，将前n日所得用二进制数表示之，该数应为小数点之后有n个1，其总和为1－2－n。所以2–1+2–2+…+2–n=0.11…1B<1总是成立的。

2）二进制与含权开关量

图1.1.2（a）是由8个开关和8个电容器组成的电路，图1.1.2（b）是由8个开关和8个电阻组成的电路。其中电容器的取值为Ci=2i×1 μF（i=0，1，…，7），电阻的取值为Rj=2j×10 Ω（j=0，1，…，7）。这是一种二进制含权电容或电阻电路，在图1.1.2（a）中，用“1”表示开关Ki处于ON状态，用“0”表示开关Ki处于OFF状态；在图1.1.2（b）中，用“1”表示开关Kj处于OFF状态，用“0”表示开关Kj处于ON状态。于是8个开关的每种组合状态对应于一个8位二进制数，所以电路取值为0～255之间的任一整数。

图1.1.2　含权电容、电阻电路

【例1.1.4】将电容CAB的值设置为168 μF，将电阻RAB的值设置为2500 Ω。

解：① 因为168＝10101000B，所以在图1.1.2（a）所示的电路中，将开关K7，K5，K3闭合，其余5个开关断开。

② 因为250＝11111010B，所以在图1.1.2（b）所示的电路中，将开关K2，K0闭合，其余6个开关断开。