用相量代替正弦量的优化算法

相量是代表同一频率正弦量的复数，引入相量之后，可以把正弦交流电路中三角函数之间的运算转变成复数之间的运算，从而降低正弦交流电路分析的难度。在介绍相量之前，首先复习一下有关复数的基本知识。

1. 复数

1） 复数的4种表示方法

复数的表示方法有很多种，各种形式之间可以互相转换。

（1） 代数形式。

复数的代数形式为

其中，a、b均为实数。a称为复数的实部；b称为复数的虚部；j称为虚数符号，2j=-1。

（2） 复平面中的向量表示。

图2-7　复数的复平面表示

（4） 复指数形式。

根据欧拉公式

复数可以用复指数形式表示为

在电路分析中为了方便起见，常把这种复指数形式的复数写成极坐标形式：

2） 复数的运算

（1） 复数的加减法。

复数的加减法可以以复数的代数形式进行。

即两个复数相加减，等于它们的实部相加减，虚部相加减。

复数的加减法还可以在复平面内用矢量的加减法进行计算，即三角形法则，相关知识在初高中已经介绍过，这里不再详述。

（2） 复数的乘除法。

复数的乘除法以复数的复指数形式或极坐标形式进行较为方便。

① 复指数形式：

② 极坐标形式：(www.xing528.com)

可见，两个复数相乘是模相乘，辐角相加；两个复数相除是模相除，辐角相减。

复数乘法也可以用代数形式直接计算，其满足乘法的分配律，即

（4） 复数的相等。

两个复数相等即实部相等同时虚部相等，或者模相等同时辐角相等。

2. 正弦信号的相量表示

其中Um为幅度，φ为幅角。

由以上可以推断，正弦量与相量之间有对应关系，见表2 - 1。

表2-1　正弦量与相量之间的对应关系

总的来说就是，相量与正弦量之间是对应关系，没有相等的关系，但可用相量代替正弦量去参加运算，这会使运算量大大减小。正弦量的振幅、初相角和有效值分别对应振幅相量的幅值、幅角、有效值的幅值。

相量在数学上的运算规律就是复数的运算规律。关于正弦量与相量的关系有一个重要的结论，这就是多个正弦量和的相量等于这些正弦量相量的和。

则其有效值相量为

根据i=2cos(1 000t -50°)，得其振幅相量为

其有效值相量为

相位差为

即电压超前，电流落后于电压30°。

3. 相量图

图2-8　电压和电流的相量图表示