螺栓组联接的优化设计技巧

例4-2 在图4-4所示的压力容器螺栓组联接中，已知D₁=400mm，D₂=250mm，缸内工作压力p=1.5MPa，螺栓材料为35钢，σ_s=320MPa，安全系数S=3，取残余预紧力Q_p=1.6F，采用铜皮石棉密封垫片。现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n和螺栓的直径d。

图4-4 压力容器受力图

问题分析：若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会降低联接的强度和密封性，不能保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度角度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联接经济成本最小化的同时，还要保证联接工作安全、可靠。

1）选取螺栓的个数n和直径d（mm）为设计变量，即

X=（nd）^T=（x₁x₂）^T

2）追求螺栓组联接经济成本C_n最小为目标。而当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与nd值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为

minF（X）=C_n=nd=x₁x₂

3）确定约束条件。

①强度约束条件。为了保证安全可靠地工作，螺栓组联接必须满足强度条件

式中，；。

对于粗牙普通螺纹，小径d₁=0.85d，所以，强度约束条件为

②密封约束条件。为了保证密封安全，螺栓间距应小于10d，所以，密封约束条件为

③安装扳手空间约束条件。为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于5d，所以，安装约束条件为

④边界约束条件为

g₄（X）=-x₁≤0

g₅（X）=-x₂≤0

4）综上所述，本问题的数学模型可表达为

设计变量X=（x₁x₂）^T

目标函数minF（X）=x₁x₂

约束条件s.t. g_i（X）≤0 （i=1，2，3，4，5，）(www.xing528.com)

现运用MATLAB的优化函数进行求解。

先编写M文件myfun.m：

function[c，ceq]=mynas（x）

c（1）=146192/（x（1）∗x（2）^2）-106； % 非线性不等式约束

c（2）=400∗pi/x（1）-10∗x（2）；

c（3）=-400∗pi/x（1）+5∗x（2）；

ceq=[]；% 非线性等式约束

在MATLAB命令窗口输入：

fun=’x（1）∗x（2）’； % 目标函数

x0=[4，6]； % 设计变量初始值

A=[-1，0；0，-1]； % 线性不等式约束矩阵

b=[0；0]；

Aeq=[]； % 线性等式约束矩阵

beq=[]；

lb=[]； % 边界约束矩阵

ub=[]；

[x，fval]=fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@mynlsub）

% 调用有约束优化函数

运行结果如下：

x=（11.4499 10.9751）

fval=125.6637

所以，该问题优化结果为：n=11.4499，d=10.9751mm，目标函数最小值F（X）=125.6637。根据实际问题的意义取整、标准化：n=12，d=12mm。

由此例可以看出，与其他编程语言相比，MATLAB语言可以简化编程。