弹性结构动力分析的直接积分法及其适用性

在地震和爆破冲击波作用下的动力分析是岩体变形和稳定计算的一项重要任务（倪汉根，金崇磐，1994）。

考虑惯性力和阻尼力后，根据虚功原理可得到整体运动方程为（朱伯芳，1998）

式中：[M]为整体质量矩阵；[C]为整体阻尼矩阵；[K]为整体刚度矩阵；{F（t）}为结点动力荷载列向量。

整体质量矩阵和整体刚度矩阵分别由单元质量矩阵[m]e和单元刚度矩阵[k]e集合而成，[k]e的计算公式见式（1-1-9），[m]e的计算公式为

式中：[M]为整体质量矩阵；[C]为整体阻尼矩阵；[K]为整体刚度矩阵；{F（t）}为结点动力荷载列向量。

整体质量矩阵和整体刚度矩阵分别由单元质量矩阵[m]e和单元刚度矩阵[k]e集合而成，[k]e的计算公式见式（1-1-9），[m]e的计算公式为

式中：ρ为岩石密度。

通常，整体阻尼矩阵由整体质量矩阵和整体刚度矩阵经过线性组合而成，称为Rayleigh阻尼。即

式中：ρ为岩石密度。

通常，整体阻尼矩阵由整体质量矩阵和整体刚度矩阵经过线性组合而成，称为Rayleigh阻尼。即

式中：α、β为系数，根据实测资料确定。

由方程（1-1-18）求解结构动力反应的方法主要有振型分解法和时程分析法。

（1）振型分解法。先求解结构对应其各阶振型的动力反应，再组合成结构总动力反应。该法适用于弹性结构的动力分析。若各阶振型反应用时程分析法求得后直接叠加，则称为振型分解时程分析法；若各阶振型反应用反应谱法求得后再组合，则称为振型分解反应谱法。

（2）时程分析法。又称为直接积分法，由结构基本运动方程（1-1-18）进行积分，求得整个时间历程内的结构动力反应。该法可应用于线性和非线性问题，适应性好，但计算工作量大。

Newmark法和Wilson-θ法是应用广泛的时程分析法，它们都是线性加速度法的推广。线性加速度法假设加速度在时间区间[t，t+Δt]上呈线性变化，由此导出的算法有条件稳定，而Newmark法和Wilson-θ法则可以是无条件稳定的。

下面主要介绍时程分析法中的Wilson-θ法。

Wilson引入控制参数θ（θ≥1），假设加速度在[t，t+θΔt]上是时间的线性函数，并证明了当θ≥1.37时，所获得的积分方法是无条件稳定的。在实际计算中，常取θ=1.4。

由于假定加速度在[t，t+θΔt]上呈线性变化，故在时刻t+τ（0≤τ≤θΔt）的加速度可按下式计算

式中：α、β为系数，根据实测资料确定。

由方程（1-1-18）求解结构动力反应的方法主要有振型分解法和时程分析法。(www.xing528.com)

（1）振型分解法。先求解结构对应其各阶振型的动力反应，再组合成结构总动力反应。该法适用于弹性结构的动力分析。若各阶振型反应用时程分析法求得后直接叠加，则称为振型分解时程分析法；若各阶振型反应用反应谱法求得后再组合，则称为振型分解反应谱法。

（2）时程分析法。又称为直接积分法，由结构基本运动方程（1-1-18）进行积分，求得整个时间历程内的结构动力反应。该法可应用于线性和非线性问题，适应性好，但计算工作量大。

Newmark法和Wilson-θ法是应用广泛的时程分析法，它们都是线性加速度法的推广。线性加速度法假设加速度在时间区间[t，t+Δt]上呈线性变化，由此导出的算法有条件稳定，而Newmark法和Wilson-θ法则可以是无条件稳定的。

下面主要介绍时程分析法中的Wilson-θ法。

Wilson引入控制参数θ（θ≥1），假设加速度在[t，t+θΔt]上是时间的线性函数，并证明了当θ≥1.37时，所获得的积分方法是无条件稳定的。在实际计算中，常取θ=1.4。

由于假定加速度在[t，t+θΔt]上呈线性变化，故在时刻t+τ（0≤τ≤θΔt）的加速度可按下式计算

具体计算步骤如下：

（1）形成刚度矩阵[K]、阻尼矩阵[C]和质量矩阵[M]。

具体计算步骤如下：

（1）形成刚度矩阵[K]、阻尼矩阵[C]和质量矩阵[M]。

（5）计算t+θΔt时刻的等效荷载，即

（5）计算t+θΔt时刻的等效荷载，即

进行抗震分析时有时会遇到结构与水（如坝体与库水）的耦合振动问题，这方面的研究成果很多（施景勋，林建华，1994；吴一红，谢省宗，1995），其中附加质量法应用较为广泛。

假设水体不可压缩，则动水压力p决定于微分方程

进行抗震分析时有时会遇到结构与水（如坝体与库水）的耦合振动问题，这方面的研究成果很多（施景勋，林建华，1994；吴一红，谢省宗，1995），其中附加质量法应用较为广泛。

假设水体不可压缩，则动水压力p决定于微分方程

经有限单元法离散化后，结构的动力方程为

经有限单元法离散化后，结构的动力方程为