反分析的回归分析方法，多元线性回归分析

回归分析方法是较早被应用于反分析中的一种求解方法。

考虑处于某一过程中的一些变量，这些变量虽然相互联系、相互影响，但由于种种原因，人们并不完全了解其中的原理和机制，因而无法以精确的数学表达式表示其关系。对于这类情况，可通过大量实验或观察，用统计方法寻找上述过程中变量间的统计规律性。这类统计规律通常称为回归关系，建立回归关系的过程称为回归分析。

线性回归模型是最简单的回归分析数学模型（朱勇华等，1999）。

一、多元线性回归分析

1.数学模型

假设随机变量y与m个（m≥2）自变量x 1、x 2、…、x m之间存在相关关系，且满足

式中：a、b 1、b 2、…、bm、σ2为与x 1、x 2、…、x m无关的未知参数；ε为不可观测的随机变量。

式（1-4-7）称为m元线性回归模型。

2.方法说明

已知n组观测数据x 1i，x 2i，…，x mi，y i（i=1，2，…，n），根据最小二乘原理，为使

达到最小，回归系数a、b1、b 2、…、bm应满足方程组

其中

V j越大，说明x j对于y的作用越显著，此时不可剔除x j。

（5）回归平方和u。

按上述方法进行回归分析时，需要通过分析计算结果中的偏相关系数V j来考虑x j对于y作用的显著性，以做出是否剔除x j的判断。若做出剔除x j的判断，则还需对剩下的自变量再做多元线性回归分析，直到所有剩下的自变量对y作用均显著。因此，往往要进行多次多元线性回归计算，导致计算量大且步骤繁琐。

实际操作中往往利用逐步回归分析方法进行多元回归分析，该法可较好地处理自变量的筛选工作，简化计算过程。

另外，近年来出现的偏最小二乘回归方法（王惠文，1999）可以更好地解决多因变量对多自变量的问题，以及消除多变量相关性的不良影响问题。(www.xing528.com)

二、算例说明——岩体初始应力场反演

设初始应力场由式（1-4-4）的函数给定。在各待定因素的单位边界条件下，使计算域内产生基本初始应力σΔ、σU、σV、σW、σT、…。假定岩体全部处于弹性状态，则按线性叠加原理将基本初始应力乘以系数，即为实际初始应力，即

采用回归分析法求得式（1-4-20）中系数b′Δ、b′U、b′V、…后，即可计算域内各点的初始应力场。

作为考题，现假设某简化边坡的边界条件和力学参数均为已知，先用有限单元法计算出应力场，将此应力场视为“真实初始应力场”，取坡体中不同位置的5个点作为实际测点，其对应的应力值视为实测值，然后依据这几个“实测点”的应力值，通过逐步回归分析法获得“反演初始应力场”。通过这两个初始应力场的比较，可对本节介绍方法的有效性做出初步判断。

边坡的有限单元网格剖分图如图1-4-2所示。边坡初始应力场由图1-4-3所示的容重Δ=0.027MN/m3、两组面力U=3MPa和V=2MPa共同作用形成。假设岩体全部处于弹性状态。

图1-4-2　有限单元网格

图1-4-3　荷载及约束

用于反演分析的初始应力测值和基本初始应力值如表1-4-1所示。用于反演精度后验的初始应力测值如表1-4-2所示。

采用逐步回归分析法求得b′Δ=1.00003、b′U=29.99990、b′V=20.00000，于是边坡所受荷载分别为：Δ′=b′ΔΔ=0.02700MN/m3、U′=b′UU=2.99999MPa、V′=b′VV=2.00000MPa，与原设定的边坡荷载非常接近。此外，从表1-4-3中也可以看出，反演结果的相对误差很小。

虽然本节介绍的有限单元数学模型回归分析法简便实用，但关于岩体处于弹性工作状态这一假设有局限性。若岩体的非线性不可忽视时，还需使用其他局限性更小、适应性更强的反演分析方法。例如，人工神经网络方法和遗传算法。

表1-4-1　用于反演分析的初始应力实测值和基本初始应力值

注 基本初始应力值为Δ=0.027MN/m3、U=0.1MPa、V=0.1MPa时，分别在测点处产生的应力值。

表1-4-2　用于反演精度后验的初始应力实测值

表1-4-3　初始应力实测值与反演值对比

续表