复合单元法：基本方程优化

用空气单元模拟排水孔虽在一定程度上减少了边界条件输入的工作量，但由于排水孔周边过渡单元仍然存在，因此，以空气单元法对排水孔进行模拟仍然需要做大量的前处理工作。进一步的改进是按照本篇第一章的设想，将排水孔以子单元的形式置于常规岩石单元内部，形成一个涵盖排水孔的复合单元。

一、基本方程

1.岩石子单元

对岩石子单元r建立泛函

式中：[h]r、{Q}r分别为岩石子单元的传导矩阵和等效结点流量（或称为右端自由项），且

式中：[h]d、{Q}d分别为第d个排水孔子单元的传导矩阵和等效结点流量；[k]d为第d个排水孔子单元的渗透矩阵，其中渗透系数的取值根据空气单元法的原则确定。

3.界面

在岩石子单元及排水孔子单元间有一虚拟界面j r，d。对于第d个排水孔子单元而言，在该界面内有泛函方程

势函数的梯度可近似表示为

4.含排水孔的复合单元

根据式（3-5-3）、式（3-5-7）和式（3-5-17），可写出含排水孔复合单元的基本方程为

二、积分式的处理

在以复合单元法模拟排水孔的计算中，会遇到复杂数值积分问题。

1.岩石子单元

岩石子单元的积分区域为除去排水孔后复合单元中的剩余部分，因此其积分式中应减去排水孔所占据的区域。由式（3-5-4）和式（3-5-5）求解岩石子单元传导矩阵[h]r和等效结点流量{Q}r的具体表达形式为(www.xing528.com)

2.排水孔子单元

根据排水孔的特点，在局部柱坐标系中积分较为方便，式（3-5-8）和式（3-5-9）可写为

式中：ξ、η、ζ分别为局部直角坐标系下的高斯点；ξr、ηω、ζz分别为柱坐标系下的高斯点。

3.界面

界面是岩石子单元与排水孔子单元的相交面，因此也存在柱坐标系与直角坐标系间的积分转换问题。式（3-5-18）为界面处以柱坐标系表示的传导矩阵，在实际求解积分时，需将它转换为直角坐标系中的相应等式求解，转换等式为

利用式（3-5-24）即可方便地对式（3-5-18）中的传导矩阵[h]r，r、[h]d，d及[h]r，d、[h]d，r进行积分，即

式中：[N]r，r、[N]d，d与[N]d，r（[N]r，d=[N]d，r）分别为岩石子单元、排水孔子单元和界面的形函数。

界面处形函数高斯点求取与排水孔子单元的高斯点求取方式相同。

三、程序编制

渗流计算的求解流程如图3-5-11所示。

其中，复合单元的信息计算由子程序COM-SP完成，其计算流程如图3-5-12所示。

图3-5-11　复合单元法渗流计算流程图

图3-5-12　子程序COM-SP计算流程图