元件伏安特性的相量式解析

本节讨论在正弦交流激励下，电路电阻R、电感L、电容C 等元件伏安特性的相量式。

3.4.2.1　电阻元件R

图3.19 电阻元件的伏安特性

设图3.19（a）所示电路中电流为

则根据欧姆定律，得

上式中 φu=φi，所以，电压u 与电流i 同相位。

i（t）式的相量式为

u（t）式的相量式为

将式（3.12）代入式（3.13）得

因式（3.14）仍满足欧姆定律，则称为广义的欧姆定律，其相量电路如图3.19（b）所示，的同相位关系如图3.19（c）所示。

【例3.13】 试列出如图3.20（a）所示电路中电阻元件上的电压的方程式及电压的方程式，并画出测量电压、电流有效值的仪表接线电路图。

图3.20 例3.13图

分析：电路为电阻串联电路，根据广义的欧姆定律式（3.14）解得式。再根据KVL 的

解 由广义的欧姆定律得

由KVL 得

测量电压、电流有效值的仪表接线电路如图3.20（b）所示。

结论：列广义的欧姆定律方程式时，注意电压与电流的关联参考方向关系。列KVL 相量式时，注意各支路端电压的参考方向。

3.4.2.2　电感元件L

设图3.21（a）所示电路中电流为

图3.21 电感元件的伏安特性

则电感电压为

上式中 φu=90°，所以，电压 uL超前电流 iL相位90°。

iL（t）式的相量式为

uL（t）式的相量式为

将式（3.15）代入式（3.16）得

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式（3.17）具有广义的欧姆定律特性，其中，XL称为感抗，单位为欧姆（Ω）；jXL是电感元件L 的相量式，相量电路如图3.21（b）所示；超前相位90°关系如图3.21（c）所示。

【例3.14】 电路如图3.21（a）所示，已知电感L=10 mH，电流试求：

（1）电感元件的感抗XL、电感两端的电压和 uL（t）。

（2）若电源频率增加5 倍，则以上量值有何变化？

分析：首先将 iL（t）式转换成相量式，写出电感元件的感抗XL=jωL；再根据电感元件的伏安相量式得电压

解：（1）求XL、和 uL（t）。

iL（t）相量式为

感抗XL为

（2）若电源频率增加5 倍，XL5、和 uL5（t）的变化。5 倍频率 ω5为

结论：感抗XL的大小随频率f 的变化而改变。

3.4.2.3　电容元件C

图3.22 电容元件的伏安特性

设图3.22（a）电路中，电容元件C 的端电压为

上式中 φi=90°，所以，电压 uC滞后电流 ii相位90°。

uC（t）式的相量式为

iC（t）式的相量式为

由上式得

式（3.18）具有广义的欧姆定律特性，其中，XC称为容抗，单位为欧姆（Ω）；jXC是电容元件C 的相量式，相量电路如图3.22（b）所示；滞后相位90°，关系如图3.22（c）所示。

【例3.15】 试列出如图3.23 所示电路中电感元件上的电压方程式和电压方程式。

分析：电容 C1、C2构成串联电容电路，根据广义欧姆定律式（3.18）可得相量式。再根据KVL 相量式相量式。

图3.23 例3.15图

解 由广义的欧姆定律得

由KVL 得

结论：写广义欧姆定律方程式时，注意相量电压与电流的关联参考方向关系。由式（3.19）得电容串联等效关系如图3.24 所示，其中等效容抗为

图3.24 电容串联电路等效变换