数字信号的基本概念与逻辑代数分析

1.数字电路特点

数字电路主要是处理离散的数字信号，其主要特点为：

（1）工作信号是二进制的数字信号，即0 或1数字信号，称为离散信号。如图9.1（a）所示数字信号A、B、Y 都是离散信号，又称为脉冲信号，其图9.1（a）称为波形图。

（2）用0 和1 表示数字电路的两种不同电平状态，即常用0 表示低电平，用1 表示高电平，其基本概念如图9.1（b）所示，电路概念如9.1（c）所示（当开关K 接b 点时，a 点为低电平，用0 表示；当开关K 接c 点时，a 点为高电平，用1 表示）。

（3）数字电路研究的重点是输入信号状态（0 或1）与输出信号状态（0 或1）之间的逻辑关系。如图9.1（a）所示波形图中，A、B 是输入信号，Y 是输出信号，其波形图反映了输入信号与输出信号之间的因果关系，即逻辑关系。

（4）数字电路分析的主要数学工具是逻辑代数。

图9.1　数字信号基本概念图

2.逻辑代数

逻辑代数又称布尔代数，由英国数学家乔治·布尔（George Boole）发明于1854 年，并且很快就成为分析数字电路的重要数学工具，即研究分析逻辑关系的数学工具。

逻辑代数与普通代数一样，用英文字母表示变量，所不同的是，普通代数变量取值范围是从-∞到+∞，而逻辑代数变量取值范围只有两个，不是0 就是1，用0 和1 表示两种不同的逻辑状态。

【例9.1】 试说明如图9.2 所示电路的逻辑关系。

分析：这是一个简单的开关电路图，其中逻辑变量A、B为输入，Y 为输出，即A、B 表示两个开关状态，Y 表示灯的状态。当开关都闭合时，灯就亮。

解　设开关A、B 闭合状态为1，断开状态为0；灯Y 亮状态为1，不亮状态为0。则有

图9.2　逻辑关系电路图

当A=B=1时，Y=1，否则，Y=0。这种A、B 与Y 的因果关系为逻辑关系。

结论：逻辑代数是反映和处理逻辑关系的数学工具。0 和1 可分别表示一个事件的是与非、真与假、上与下、同意与反对、电平的高与低、电流的有与无、开关的合与断等等。根据图9.2 所示电路的逻辑关系，可写出其逻辑函数式为Y=AB。所以，逻辑代数所表达的是逻辑关系而不是数值关系，这是与普通代数本质的区别。

3.逻辑变量

逻辑代数中的变量称为逻辑变量。其逻辑变量的取值为0 或1，当逻辑变量为1 时，称为原变量（如A、B 表示的是原变量），图9.1（b）中为1 的脉冲表示原变量的值；当逻辑变量为0 时，称为反变量（如表示的是反变量），图9.1（b）中为0 的脉冲表示反变量的值。

4.逻辑函数

描述输入逻辑变量（如A、B、…）与输出逻辑变量（如Y）之间因果逻辑关系的代数式，称为逻辑表达式，而输出逻辑变量Y 是输入逻辑变量A、B、…的逻辑函数，其函数Y 的逻辑表达式为

逻辑函数Y 的表示方法有五种，即逻辑表达式、真值表、波形图、逻辑图和卡诺图（关于卡诺图内容，请参考其他教材）。(https://www.xing528.com)

5.真值表

把逻辑变量（如A、B、…）各种可能取值与对应的逻辑函数（如Y）值，以表格形式列举出来，这种反映逻辑变量与逻辑函数之间因果关系的表格称为真值表。

写真值表的方法：每个输入变量均有0、1 两种取值，n 个输入变量则有2n种取值组合（例如，输入变量为A、B、C，则取值组合为 23=8），将输入变量取值按二进制数递增规律排列后（如图9.3 所示），根据逻辑因果关系，在表中填写对应的函数值，便得到逻辑函数的真值表。

图9.3　真值表格式图

【例9.2】 试写出如图9.2 所示电路的真值表。

分析：图9.2 所示电路中输入变量为A、B，即变量n=2，真值表有2n=22=4种取值组合，A、B 取值按二进制数递增规律排列，并根据图9.2 所示电路填写对应的函数值，如表9.1所示。

解　设开关A、B 闭合状态为1，断开状态为0；灯Y 亮状态为1，不亮状态为0。

表9.1　例9.2 的真值表

结论：真值表非常直观地反映了输入变量与输出变量之间的逻辑关系，并且把一个实际的逻辑问题抽象为一个逻辑数学表格。这种以表格形式表示逻辑函数，常常用于数字电路的分析与设计中。

6.波形图

随时间按照一定逻辑关系变化的图形，称为波形图，也称为时序图。

【例9.3】 已知例9.2 的输入逻辑变量取值如图9.4（a）所示，根据其真值表9.1 画出逻辑函数Y 的波形图。

图9.4　例9.3 的波形图

分析：分析真值表9.1 可知其逻辑功能为：当A=B=1时，Y=1，否则Y=0。

解　根据真值表9.1 所示逻辑功能，用虚线在波形图上画出函数Y=1的逻辑关系线，解得逻辑函数Y 的波形图如图9.4（b）所示。

结论：正确分析真值表的逻辑功能是画出其波形图关键。一般不用在波形图中标出0、1逻辑值。

注意：波形图的横坐标是时间轴，纵坐标是变量的取值（0 或1）。由于在应用波形图分析同一个数字电路中的各变量之间逻辑关系时，其时间轴只有一个，所以，约定波形图中不用标出坐标轴，但各个波形一定要在时间上一一对应。

7.逻辑图

用逻辑器件的逻辑符号来表示逻辑函数，即表示逻辑表达式中各个变量之间逻辑关系的逻辑符号图，称为逻辑函数的逻辑图。

注意：同一个逻辑函数，根据选择的逻辑器件不同，其逻辑图有所不同，即实现同一逻辑函数功能的逻辑图不是唯一的。