理解能观性测度和能控性测度的重要性

1.能观性测度和能控性测度的时域解

为了分析能控性测度的意义，求解式（4.79）对应的振荡模态状态方程时域解：

式中，zb0和为对应模态分量的振荡初值。可以看出，第一项为系统的零输入响应，表示系统在无输入信号的情况下振荡模态的解，反映了系统该模态本身的特性。而第二项为系统的零状态响应，反映了输入u对模态的控制作用，大时，输入u对模态的控制作用更大，与能控性测度的定义一致。

系统输出Y的时域解可表示为各个模态分量时域解之和的形式：

其中，表示输出Y中振荡模态对应的分量，的时域表达式可由振荡模态时域解得

将振荡模态时域解整体式（4.81）看作模态量，模态能观性测度可以反映该振荡模态量在输出中的能观程度。由式（4.83）可以看出，振荡模态量变化1个单位，系统输出Y中该模式的分量的模值将变化个单位，与能观性测度的定义一致。

目前的研究表明留数和相关因子可以一定程度上反映系统的能观和能控程度。下文将通过对比分析能观性测度、能控性测度与相关因子、留数的区别和联系，进一步说明能观性测度与能控性测度的意义。

2.与相关因子的对比分析

相关因子是定义第k个状态量Xk和第i个特征值λi的相关性的物理量，相关因子pki定义为

式中，fki，eki分别表示左特征向量矩阵F和右特征向量矩阵E的第k行第i列元素。

相关因子pki的绝对值反映了第k个状态量Xk和λi的相关性大小。将相关因子定义式（4.84）扩展表示所有状态量X和特征值λi的相关性，如下：(https://www.xing528.com)

相关因子阵pi的第k个对角线元素，可以表示状态量Xk和特征值λi的相关性，即相关因子pki。

假设系统输入矩阵B和输出矩阵C为n阶单位阵，且此特征值对应的模态变量为某一振荡模态b的一个分量Zb，对应的相关因子为pkb，相关因子阵为pb。那么，其输出的时域可由表达式（4.81）改写为

从式（4.86）可知，当输入矩阵B和输出矩阵C为单位阵时，式（4.81）退化为式（4.86）的形式，系统的输出为系统的状态量X，输入｜pkb｜值大反映Xk对λb的强可控和强可观。

由上可知，相关因子法与本文所提能观性测度和能控性测度方法的区别在于：①相关因子只能反映状态量X的能控程度和能观程度，而本书方法反映任意实际控制输入和量测输出信号的能控程度和能观程度。②本书方法综合考虑了同一个振荡模态中两个共轭分量的影响，与振荡的关系更明确。

3.与留数的对比分析

留数是根据系统中输入u到输出Y的传递函数定义的，系统中输入u到输出Y的传递函数可以用留数和特征值的形式来表示：

留数Ri可以反映由输入u到输出Y关于第i个状态变量的传递特性，假设此状态变量属于第b个振荡模态，那么留数一定程度上也反映了输入u到输出Y对于第b个振荡模态的其中一个模态分量的能观和能控的程度。

式（4.81）第2项对应的是系统输出的零状态响应时域解，反映了输入u对输出Y中该模态分量的影响。这其中就包含了留数的表达式，进一步说明了留数是反映输入到输出的特性。

当式（4.81）中系统振荡初值zb0近似为零时，系统中该模态分量输出只存在零状态响应项，此时留数可以反映该模态分量的能控程度和能观程度。但当系统受到较大扰动时，振荡初值zb0较大，留数将无法反映系统该模式本身的特性，即系统输出中的零输入响应部分，此时留数仍可以反映模态分量的能控程度，但不能完整反映模态分量的能观程度。

综上，留数法与本书方法的区别是，留数法未综合考虑同一个振荡模态中两个共轭分量的影响；且能观性测度可以同时反映零状态响应和零输入响应，更适合表征振荡模态的能观程度。